Fundamentos de la Probabilidad

Probabilidad y Fenómenos Aleatorios

Probabilidad

Probabilidad es una herramienta matemática que se utiliza para estudiar la aleatoriedad y proporcionar predicciones sobre la posibilidad de que algo ocurra.

• Abreviaturas:
  • La probabilidad se abrevia como P(evento).
  • Ejemplo: P(A) se refiere a la probabilidad de que ocurra el evento A.
• Los tipos de probabilidad incluyen:
  • Probabilidad teórica: modelos matemáticos y no observaciones
  • Frecuencia relativa: observaciones y/o mediciones
  • Probabilidad personal o subjetiva: nada más que sentimientos personales

Ejemplo de probabilidad:

Si se lanza una moneda, la probabilidad teórica de que salga cara en cualquier lanzamiento es del 50%.

Ley de los grandes números

• Cuando un suceso se repite una y otra vez, la proporción de veces que el suceso da lugar a un resultado concreto se asienta en torno a un número determinado.
• Ese número concreto es la probabilidad del resultado.
• Se refiere a los resultados a largo plazo (en lugar de los resultados a corto plazo)

Ejemplo de resultados a corto y largo plazo:

Si se lanza una moneda, hay un 50% de posibilidades de obtener cara en cualquier lanzamiento. Si se lanzan 10 caras seguidas, esto no aumenta la probabilidad de obtener cara en el siguiente lanzamiento (un resultado a corto plazo). La ley de los grandes números significa que, a lo largo de un gran número de lanzamientos de monedas, la frecuencia de obtener cara será cercana al 50%.

Asignación de probabilidades

• Si la probabilidad de un suceso = 0, el suceso nunca ocurrirá.
• Si la probabilidad de un suceso = 1, el suceso ocurrirá siempre.
• La probabilidad de que ocurra un evento puede distribuirse entre los posibles resultados asociados a él.
• La probabilidad de todos los resultados suma 1.

La probabilidad de que se produzca un acontecimiento (A) está comprendida entre 0 (certeza absoluta de que no se produzca) y 1 (certeza absoluta de que se produzca):

La suma de todas las probabilidades de todos los resultados posibles en un espacio muestral suman 1:

Fenómenos aleatorios

Los fenómenos aleatorios son situaciones en las que se conocen los posibles resultados, pero se desconoce el que se producirá.

• Pueden observarse durante lo que se conoce como ensayos, en los que se producen resultados.
• Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles

Reglas Básicas de la Probabilidad

La regla del complemento

Algunos sucesos solo tienen 2 resultados posibles: el suceso A ocurre, o el suceso A no ocurre. El complemento del suceso A es que el suceso A no ocurre, y se representa como A^C. La probabilidad de que ocurra A^C es igual a 1 menos la probabilidad del propio suceso (A).

Ejemplo: tienes una probabilidad de 1 entre 4 de sacar un trébol de una baraja estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que no saque un trébol?

Respuesta: en este ejemplo, sacar un trébol es el evento A y no sacar un trébol es A^C. Si la probabilidad de sacar un trébol es de 0,25, entonces A^C = 1 – 0,25, que es 0,75.

Regla de los sucesos incompatibles

Si 2 o más sucesos no pueden ocurrir simultáneamente, se denominan sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles. Mientras que no es posible que los 2 sucesos incompatibles ocurran simultáneamente, sí es posible que no ocurra ninguno de ellos.

Cuando 2 sucesos (A y B) son mutuamente excluyentes (o incompatibles), la probabilidad de que A o B ocurran es la suma de la probabilidad de cada suceso.

Esta regla puede aplicarse a cualquier número de sucesos incompatibles. Por ejemplo, para hallar la probabilidad de que ocurran A, B o C, basta con sumar P(A) + P(B) + P(C), suponiendo que los 3 son sucesos completamente excluyentes.

Ejemplo 1:

• Llega a un semáforo. Hay un 35% de probabilidades de que al acercarse el semáforo esté en verde, un 5% de probabilidades de que esté en amarillo y un 60% de probabilidades de que esté en rojo. Cuando se acerque a un semáforo, ¿cuál es la probabilidad de que el semáforo esté en verde o en amarillo?
• Respuesta: como la luz no puede ser verde y amarilla al mismo tiempo en este ejemplo, solo hay 3 posibilidades: P(verde) puede simplemente sumarse a P(amarillo), que es 0,35 + 0,05 = 0,4. Así, la probabilidad de que la luz sea verde o amarilla es del 40%.

Ejemplo 2:

• Tiene una baraja estándar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol, una pica o un corazón?
• Respuesta: la carta que saques solo tendrá 1 de los 4 palos a la vez; por lo tanto, son sucesos mutuamente excluyentes. Por tanto, P(trébol) + P(pica) + P(corazón) = 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75. Hay un 75% de posibilidades de que saques un trébol, una pica o un corazón.

La regla de la multiplicación para sucesos independientes

Los sucesos son independientes cuando la probabilidad de uno no afecta a la del otro (nota: los sucesos incompatibles no pueden ser sucesos independientes (ejemplo 2)). La probabilidad de que ocurran ambos sucesos independientes es igual al producto de las probabilidades de los sucesos A y B.

Ejemplo 1:

• El suceso A es la probabilidad de sacar un trébol de una baraja, que es 13 / 52, o sea 0,25. El suceso B es la probabilidad de sacar una carta con cara, que es 12 / 52, o sea 0,23. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol que también sea una carta con cara?
• Respuesta: estos 2 sucesos son independientes entre sí (la probabilidad de sacar un trébol no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de sacar una carta con cara); por lo tanto, las probabilidades simplemente se pueden multiplicar. 0,25 x 0,23 = 0,057 o 5,7% (que es 3 / 52, lo que representa el rey, la reina y la jota de tréboles).

Ejemplo 2: los sucesos incompatibles no pueden ser independientes entre sí

• Los sucesos incompatibles son 2 sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo: e.g., un semáforo no puede estar en rojo y en verde al mismo tiempo. Si la luz es verde, no puede ser también roja.
• Pueden producirse sucesos independientes simultáneamente: e.g., una carta puede ser tanto de trébol como con una cara.

Regla general de adición

La probabilidad de un suceso (A), u otro suceso (B), o ambos sucediendo, está dado por la ecuación:

Ejemplo: tienes una pila de dinero con 4 denominaciones de billetes: $1, $5, $10 y $20. El suceso A representa sacar un billete impar; el suceso B representa sacar un billete entre $4 y $12. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B?

Respuesta: tenga en cuenta que $5 está en ambos sucesos; por lo tanto, no son incompatibles o mutuamente excluyentes. Así, no podemos simplemente sumar P(A) + P(B), porque habremos contado la probabilidad de que se extraiga un billete de $5 (P($5)) dos veces. Por lo tanto, debemos restar P($5) para que al final solo se cuente una vez. Si las probabilidades de sacar cada billete son las mismas, entonces la probabilidad de sacar cada billete individual es de 1 entre 4, es decir, el 25%.

Así, para responder a nuestra pregunta, en 1er lugar podemos calcular P(A), que es igual a P($1) + P($5) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Del mismo modo, P(B) = P($5) + P($10) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Sabemos que P($5) por sí mismo es 0,25. Así que, en total, 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75, lo que representa 3 de los 4 billetes (los de 1$, 5$ y 10$, que están todos incluidos en el suceso A o B).

Consideraciones

• Cuidado con las probabilidades que no suman 1.
• No sumar las probabilidades de los sucesos si no son incompatibles.
• No multiplique las probabilidades de los sucesos si no son independientes.
• Los sucesos incompatibles no pueden ser independientes.
• No utilice la ley de los grandes números para describir sucesos a corto plazo.
• Considere si es razonable suponer que los sucesos son independientes.

Probabilidad Condicional

• La probabilidad condicional del suceso B es la probabilidad de que B ocurra sabiendo que el suceso A ya ha ocurrido.
• Anotado como P(B|A)
• La probabilidad condicional de sucesos independientes es simplemente la probabilidad del suceso B, lo que significa que P(B|A) = P(B).
  • Ejemplo: una persona desea sacar 2 tréboles seguidos de una baraja estándar. Suponiendo que la 1ra carta es un trébol, ¿cuál es la probabilidad de que la 2da carta sea también un trébol?
  • Respuesta: cada extracción es independiente de la última extracción, por lo que la probabilidad condicional, en este caso, se puede describir como P(Sacar un 2do trébol|1ra carta es de tréboles). Como hay 13 cartas en cada palo, y ya se ha sacado 1 (“suceso A”), quedan 12 tréboles de un total de 51 cartas. Por lo tanto, la respuesta es 12 / 51 o 23,5%.
• La probabilidad condicional de sucesos que no son independientes representa la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, lo que significa que P(B|A) = P(A)*P(B).
  • Ejemplo: un estudiante que solicita plaza en la universidad tiene un 80% de posibilidades de ser aceptado. El alojamiento en el campus está disponible para el 60% de los estudiantes aceptados. ¿Qué posibilidades hay de ser aceptado y de conseguir alojamiento en el campus?
  • Respuesta: 0,8 x 0,6 = 0,48 o 48%.
• La probabilidad condicional de más de 2 sucesos requiere la consideración de todos los sucesos precedentes.
  • Ejemplo: el mismo estudiante anterior sabe que de los estudiantes que obtienen una vivienda en el campus, el 90% tiene al menos 1 compañero de habitación. ¿Cuál es la probabilidad de que este estudiante sea aceptado, obtenga un alojamiento en el campus y tenga al menos 1 compañero de habitación?
  • Respuesta: 0,8 x 0,6 x 0,9 = 0,432 o 43,2%.