Gradients and First Principles: Exercise 2

00:00 Schauen wir uns die nächste Übung an.

00:02 Dieses ist ein bisschen einfacher, da wir bereits ein ähnliches Beispiel hatten.

00:06 Lassen Sie uns das Beispiel einfach durchrechnen.

00:10 Erinnern Sie sich noch an die Definition? Ich schreibe sie noch einmal auf.

00:14 dy geteilt durch dx, wobei der Grenzwert von delta x gegen 0 tendiert, ist f von x plus delta x minus f von x, alles geteilt durch delta x.

00:27 Wir setzen jetzt die Zahlen oder die numerische Funktion ein.

00:31 Jedes x ersetzen wir durch x plus delta x.

00:35 Dieser Term ist die ursprüngliche Funktion, die wir gleich einsetzen werden.

00:40 Schreiben wir das alles auf.

00:42 Wir haben dy geteilt durch dx.

00:43 Der Grenzwert von delta x tendiert gegen 0.

00:46 3 x plus delta x zum Quadrat minus 2 x plus delta x.

00:56 Am Ende steht plus 7.

00:59 Denken Sie daran, die ursprüngliche Funktion zu subtrahieren.

01:01 Das ist die unveränderte Funktion.

01:03 Wir haben also 3 x zum Quadrat - 2 x + 7 Alles wird geteilt durch delta x.

01:11 Der häufigste Fehler, ist folgender: Seien Sie beim Erweitern bitte vorsichtig.

01:17 Denken Sie daran, dass Sie hier zwei Klammern haben.

01:19 Damit erhält man ein Quadrat.

01:21 Dabei müssen wir besonders vorsichtig sein.

01:24 Wir belassen den Term bei (x plus delta x) mal (x plus delta x).

01:28 Wir können das ausmultiplizieren.

01:30 Dann haben wir 2 x - 2 delta x + 7.

01:34 Hier müssen Sie noch einmal aufpassen.

01:36 Da alles mit dem Minus multipliziert wird, ändern sich alle Zeichen im Inneren.

01:40 Sie haben somit - 3 x zum Quadrat + 2 x - 7.

01:44 Das Ganze wird durch delta x geteilt.

01:48 Lösen Sie die Klammern nun auf.

01:50 Zuerst haben wir die 3.

01:52 Dann folgen x zum Quadrat plus x delta x plus ein weiteres x delta x, das ergibt 2 x delta x, plus delta x zum Quadrat.

02:03 Alles Weitere kann so stehen bleiben.

02:03 - 2 x - 2 delta x + 7 - 3 x zum Quadrat + 2 x - 7, geteilt durch delta x.

02:15 Die Klammer wird mit 3 multipliziert. 3 x zum Quadrat + 6 x delta x + 3 delta x zum Quadrat - 2 x - 2 delta x + 7 - 3 x zum Quadrat + 2 x - 7.

02:29 Wir sind fast soweit.

02:31 Also wird durch delta x geteilt.

02:35 Diese Funktion können wir kürzen.

02:38 Erinnern Sie sich an das, was wir besprochen haben. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollte sich dieser Term normalerweise aufheben.

02:42 Wir haben ein positives 3 x zum Quadrat und ein negatives 3 x zum Quadrat, wir haben ein negatives 2 x und ein positives 2 x und ein - 7 sowie ein + 7.

02:54 Ich mache das in zwei Schritten.

02:55 Übrig bleibt 6 x delta x + 3 delta x zum Quadrat - 2 delta x, geteilt durch delta x.

03:05 In jedem Term steht das gleiche delta x.

03:08 Hier, hier, hier.

03:10 Auch im Nenner steht ein delta x.

03:11 Deshalb können wir das delta X heraus kürzen.

03:13 Wir kürzen das mit dem, eines von diesen und diesen Term.

03:18 Übrig bleibt 6 x + 3 delta x - 2.

03:25 Beachten Sie zum Schluss den Grenzwert.

03:26 Wir wollen unsere endgültige Antwort von d y durch d x, wobei der Grenzwert von delta x gegen 0 tendieren soll.

03:33 Das bedeutet, dass jeder Term, der delta x enthält, zu 0 wird.

03:35 Denn 3 mal 0 ergibt 0.

03:39 Daraus folgt die endgültige Lösung 6 x - 2.

03:43 Das ist Ihr Differential.

03:46 Wir werden noch einmal die schnellere Methode anwenden, da diese viel einfacher ist.

03:50 Sie werden diese bevorzugen.

03:52 Ich schreibe die Funktion noch einmal auf, damit wir jeden Term einzeln betrachten können.

03:57 3 x zum Quadrat - 2 x + 7.

03:59 Erinnern Sie sich an die vorherige Vorlesung.

04:02 Wenn Sie diesen Term ableiten, multiplizieren Sie mit dem Exponenten und verringern die Potenz um 1.

04:08 Gehen wir Schritt für Schritt vor.

04:11 Wir haben 2 mal 3.

04:13 Die 3 stört uns nicht und bleibt stehen.

04:15 x hoch 2 - 1.

04:18 Sie müssen in der richtigen Reihenfolge vorgehen.

04:19 Zuerst wird mit dem Exponenten multipliziert, danach verringern Sie die Potenz um 1.

04:22 Das gleiche machen Sie mit dem nächsten Term.

04:24 Die Potenz von x ist 1.

04:26 Sie schreiben also die 1 vorne hin und multiplizieren diese mit 2.

04:30 Dann folgt x hoch 1 - 1.

04:34 Zum Schluss verschwindet die Konstante und wird zu 0.

04:39 Grund dafür ist, dass da 7 x hoch 0 steht.

04:43 Alles hoch 0 ist einfach 1.

04:45 7 x hoch 0 entspricht demnach 7.

04:48 Multipliziert man zur Bildung des Differentials mit dem Exponenten, steht dort 0 mal 7 x hoch -1.

04:55 Konstanten verschwinden deshalb immer.

04:59 Jede Zahl am Ende der Funktionen, die Sie ableiten, verschwindet einfach.

05:05 Sie können sie einfach ignorieren.

05:07 Wenn wir das zusammenfassen, haben wir 6 x hoch 1 Das ergibt 2 x hoch 0.

05:16 Wie bereits besprochen, wird jeder Term mit der Potenz 0 zu 1.

05:19 Das ist also die endgültige Antwort, 6 x minus 2.

05:22 Den gleichen Term haben wir zuvor auch erhalten.

05:26 Dank moderner Mathematiker und der modernen Infinitesimalrechnung, sind Berechnungen für uns viel einfacher geworden.

05:34 Deshalb raten wir Ihnen zur Verwendung der schnelleren Methode, es sei denn, Sie müssen die erste Ableitung mithilfe der Grundlagen überprüfen.