First Principles – Calculus Methods

00:01 Sie haben soeben die Definition der ersten Ableitung beziehungsweise die grundlegende Formulierung einer Ableitung aufgestellt.

00:09 Diese sollten Sie sich verinnerlichen und üben, denn diese Prinzipien finden bei der Bestimmung vieler verschiedener Funktionen und Steigungen Anwendung.

00:19 Sollten Sie mit einer Aufgabenstellung mal wirklich nicht weiterkommen, kommen Sie auf die erste Ableitung zurück und prüfen Sie, ob Sie die Aufgabe mithilfe dieser lösen können.

00:27 Nochmals zusammenzufassend beinhaltet die erste Ableitung Folgendes: dy/dx ist f von x plus Delta x minus die ursprüngliche Funktion f von x und anschließend dividiert durch Delta x.

00:43 Beachten Sie aber auch, dass die Berechnung von Grenzwerten von großer Bedeutung ist.

00:46 Die Ableitung ist nur gültig, wenn Delta x gegen Null tendiert, da uns nicht die Steigung einer kleinen Geraden, sondern die Steigung in einem bestimmten Punkt interessiert.

00:59 Merken Sie sich den Grenzwert als Teil der Definition, also dass dy/dx voraussetzt, dass delta x gegen Null tendiert, sodass f von x plus delta x minus f von x geteilt durch delta x gilt.

01:10 Und noch einmal: Passen Sie auf, denn das werden wir in diesem Kurs immer wieder verwenden.

01:15 Machen wir nun ein Beispiel, indem wir einige Zahlen in dieses Konzept einfügen und versuchen, diese Funktion zu differenzieren. y ist gleich 3x zum Quadrat plus 5x minus 1.

01:26 Nun verwenden wir die Definition der erste Ableitung.

01:29 Ich möchte Sie noch einmal an die Definition erinnern.

01:32 Wir haben gesagt, dass dy/dx, wenn der Grenzwert von Delta x gegen Null tendiert, f von x plus Delta x minus f von x geteilt durch delta x ist.

01:46 Mit Zahlen wird dies nun etwas einfacher, und es hilft zu verstehen, wofür der Term steht.

01:54 f von x ist die ursprüngliche Funktion, also die y-Funktion, wohingegen f von x plus Delta x bedeutet, dass der x-Wert um Delta x verschoben ist.

02:03 Sie werden verstehen, was ich damit meine, wenn wir dieses numerischen Beispiel durchgehen.

02:09 Wenden wir also diesen Gedanken auf unsere Funktion an, dy/dx, wobei der Grenzwert von delta x gegen Null tendiert.

02:18 Wir werden den Grenzwert zunächst noch nicht verwenden, aber schon einmal in der Definition beibehalten.

02:22 Sieh dir deine Funktion genau an, sie lautet 3x zum Quadrat.

02:25 An Stelle von x zum Quadrat werden wir Folgendes verwenden: Wir ersetzen x durch x plus delta x im Term 3x im Quadrat und ebenso im Term 5x.

02:46 Die 1 hat kein x. Sie kann unverändert stehen bleiben.

02:50 Der erste Schritt ist damit abgeschlossen.

02:54 Der entstandene Term entspricht f von x plus Delta x.

03:01 Laut Definition folgt nun die ursprüngliche Funktion, die wir von f von x plus Delta x subtrahieren.

03:09 Sie müssen hier also keine Änderungen vornehmen.

03:15 Unsere ursprüngliche Funktion war 3x zum Quadrat plus 5 x minus 1, diese können wir einfach so übernehmen.

03:19 Der gesamte Term wird nun durch Delta x geteilt.

03:23 Und jetzt fängt der Spaß an.

03:25 Mit Hilfe von Algebra kann der Ausdruck nun erweitert werden.

03:28 Denken Sie daran, dass es sich hierbei um zwei Klammern handelt, also um x plus Delta x mal x plus Delta x.

03:33 Ich schreibe den Term nun ausführlich auf, damit das deutlich wird. x plus delta x mal x plus delta x.

03:38 Das kann man durchmultiplizieren, also haben wir plus 5x, plus 5 delta x, minus 1.

03:45 Wenn Sie nun diese Klammer auflösen, achten Sie darauf, dass Sie alles mit dem Minus durchmultiplizieren, Wir haben also minus 3x zum Quadrat minus 5x plus 1 geteilt durch Delta X.

03:58 Es folgen noch ein paar Schritte, aber ihr werdet sehen, dass wir zu einer schönen einfachen Gleichung kommen. Dieses mal machen wir das ganz ausführlich, Sie werden jedoch sehen, dass Sie mit ein wenig Übung nicht mehr so viele Schritte durchführen müssen. Wir multiplizieren es jetzt aber ausführlich durch.

04:13 Sie haben also x zum Quadrat, plus 2 mal x Delta x, plus Delta x zum Quadrat, plus 5x, plus 5 delta x, minus 1, minus 3x zum Quadrat, minus 5x plus 1 und alles wird am Ende durch Delta x geteilt.

04:31 Fast geschafft. Jetzt multiplizieren wir die Variablen innerhalb der Klammer mit der 3. Wir haben also 3x zum Quadrat, plus 6x Delta x plus 3 Delta x zum Quadrat, plus 5x, plus 5 delta x, minus 1, minus 3x zum Quadrat, minus 5x plus 1, alles geteilt durch Delta x.

04:52 Hier werden Sie feststellen, dass sich einige Zahlen gegenseitig aufheben.

04:55 Das macht uns das Leben ein wenig leichter. Lassen Sie mich das Stück für Stück demonstrieren.

04:58 Schauen Sie sich hier das 3x zum Quadrat und dort das minus 3x zum Quadrat an.

05:04 Sie haben zudem ein Plus 5x und ein Minus 5x und dann sollte man irgendwo eine minus 1 und eine plus 1 finden.

05:10 Mit etwas Übung werden Sie sehen, dass sich diese letzte Funktion bei richtiger Durchführung der Ableitung normalerweise stets aufheben lässt. Damit bleibt nur noch die Funktion mit den Deltas übrig.

05:21 Da mir nicht mehr viel Platz zur Verfügung steht, verwende ich jetzt eine andere Farbe, um die Delta-X-Werte auszugleichen.

05:27 Schauen Sie sich genau an, was hier übrig geblieben ist.

05:30 Sie haben 6x Delta x, 3 Delta x zum Quadrat und 5 delta x, alles geteilt durch den Term delta x.

05:40 Dadurch können Sie tatsächlich Delta x heraus kürzen. Es bleibt der Term 6x plus 3 Delta x plus 5 übrig.

05:55 Denken Sie daran, dass wir das Delta x unter dem Bruchstrich weggekürzt haben.

05:57 Als allerletzten Schritt wenden wir diesen Grenzwert an, den wir anfangs bereits erwähnten.

06:04 Delta x soll gegen Null tendieren.

06:06 Es handelt sich also um dy/dx unter der Voraussetzung, dass delta x gegen Null tendiert.

06:13 Das bedeutet eigentlich nur, dass man jeden Term, der Delta x enthält, mit Null gleichsetzt.

06:18 In unserem Fall ist das dieser Term hier. 3 mal Null ergibt Null.

06:23 Übrig bleibt der Term 6x plus 5.

06:27 Die Ableitung dy/dx der Funktion 3x Quadrat plus 5x minus 1 ist demnach 6x plus 5.

06:37 Das Vorgehen ist ziemlich anstrengend.

06:41 Lassen Sie uns die Definition der Differenzierung abschließend erneut durchgehen.

06:44 Ich betone diese immer wieder, da es im Laufe des Kurses wirklich wichtig ist, dass wir diese Definition kennen.

06:50 In Kürze werden wir eine schnellere Methode der Differenzierung kennenlernen, aber denken Sie daran, dass die erste Ableitung wie folgt definiert ist: f von x, plus delta x minus die ursprüngliche Funktion f von x dividiert durch delta x, wobei delta x gegen Null tendiert.