Differentiation Basics

00:02 Willkommen bei der Mathematik Vorlesung.

00:04 Bisher haben wir uns ausgiebig mit der ersten Ableitung befasst.

00:09 Wir haben bereits einen viel schnelleren Weg der Differenzierung kennengelernt.

00:14 In dieser Vorlesung werden wir nun die schnellere Methode verwenden und zur Anwendung der Differenzierung übergehen.

00:21 Heute werden wir uns mit den Grundlagen der Differentialrechnung befassen.

00:28 Wir werden uns die Standard Methode für die Ableitung ansehen.

00:31 Das ist die schnellere Methode, über die wir gerade gesprochen haben.

00:34 Diese werden wir mit verschiedenen Funktionen üben.

00:37 Anschließend fahren wir mit der Anwendung auf spannendere Fragestellungen fort.

00:39 Wir werden beispielsweise die Steigung in einem bestimmten Punkt einer Kurve berechnen.

00:45 Wie findet man Gleichungen von Tangenten? Wie findet man Gleichungen von Normalen? Auch für Medizinkurse ist dieses Wissen sehr nützlich, da man auch hier Steigungen von Kurven berechnet, um die Steilheit oder die Geschwindigkeit von Wachstums- und Zerfallsprozessen zu bestimmen.

01:03 Bisher haben wir also die Ableitung einer Funktion wie 3x zum Quadrat + 5x-1 unter Verwendung der Definition der ersten Ableitung berechnen können.

01:12 Mithilfe der langen Methode kamen wir zur endgültigen Antwort.

01:16 Delta x tendierte dabei gegen Null.

01:21 Mittlerweile haben wir dafür jedoch schnellere Methoden.

01:25 Auch diese sind wir zuvor zusammen durchgegangen. Dabei wird mit dem Exponenten multipliziert und der Exponent selber um 1 verringert.

01:32 Erinnern Sie sich daran, dass alle Konstanten am Ende mit Null gleichgesetzt werden und somit einfach verschwinden.

01:40 Als kleine Wiederholung werden wir erneut einen Blick auf die allgemeine Regel werfen.

01:43 Haben Sie eine Funktion y = x hoch n, können Sie x mit n multiplizieren.

01:51 Anschließend verringern Sie den Exponenten n um 1.

01:58 Daraus folgt n mal x hoch n - 1.

02:02 Mit dieser Formel haben wir zudem einige Funktionen abgeleitet und mithilfe der ausführlichen Schreibweise bewiesen, dass diese vereinfachte Methode zur richtigen Antwort führt.

02:18 Als Mathematiker mögen wir Beweise, da sie uns zeigen dass das, was wir tun, der Wahrheit entspricht.