Work: Example 2

00:01 Lassen Sie uns anhand eines Beispiels genau sehen, wie das funktioniert.

00:04 Wenn ein Klotz die Masse m hat, gleitet er sanft dahin, sodass keine Reibung die Geschwindigkeit v beeinflusst, und stößt dann auf einen Hang.

00:11 Die Steigung hat einen Winkel von Theta und einen kinetischen Reibungskoeffizienten mu-sub-k.

00:16 Mit anderen Worten: Beim Hang besteht Reibung, bei der Gleitbewegung allerdings nicht.

00:21 Die Frage ist nun, wie hoch sich das Objekt den Hang hinauf bewegt.

00:24 Bevor wir das besprechen, müssen wir noch über gewisse Variablen sprechen, nämlich m, theta und v.

00:33 Wir werden im Folgenden keine Zahlen in dieser Aufgabe haben.

00:36 Der Grund dafür ist, dass wir uns mehr und mehr daran gewöhnen müssen, Probleme nur mithilfe von Variablen lösen zu können.

00:42 Wenn wir das Problem mithilfe der Variablen lösen, verstehen wir nicht bloß, wie die Systematik der Mechanik ist, sondern wir verwenden damit auch über eine bessere Methode, um die Ergebnisse zu erhalten, ohne zu früh mit Zahlen zu hantieren und so möglicherweise in ein Chaos zu geraten.

00:57 Versuchen Sie zunächst, dieses Problem selbst zu lösen.

00:59 Schauen Sie, ob Sie herausfinden können, wie hoch dieses Objekt den Hang hinaufsteigen würde und wenn Sie das getan haben, besprechen wir es gemeinsam.

01:06 Ich hoffe, dass Ihre Überlegung bezüglich der Aufgabe in etwa so lautet: Sie haben ein Objekt, das sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt.

01:13 Es kommt an einem Hang an und bewegt sich entlang ihm hinauf, während die Hangabtriebskraft ihn die ganze Zeit nach unten zieht.

01:18 Hinzu kommt die Reibung, die der Bewegung immer entgegenwirkt.

01:22 Die Bewegung des Objekts erfolgt also hangaufwärts.

01:24 Die Reibung wirkt der Bewegung den Hang hinauf entgegen.

01:27 Zusätzlich gibt es die Hangabtriebskraft, die sich durch Fg mal Sinus von Theta beschreiben lässt.

01:31 Wie üblich existiert am Hang auch die Normalkomponente der Gewichtskraft, die sich wiederum durch Fg mal Kosinus von Theta definiert.

01:37 Schließlich existiert noch die Normalkraft, die verhindert, dass der Gegenstand durch den Hang hindurchtritt.

01:42 Lassen Sie uns sehen, ob wir mit diesen Informationen herausfinden können, wie viel Arbeit geleistet wurde, um schließlich mithilfe der Arbeit herauszufinden, wie hoch das sich Objekt den Hang entlang nach oben bewegen würde.

01:51 Unser Objekt hat zunächst eine gewisse kinetische Energie.

01:54 Während der Bewegung hat es eine kinetische Energie von 1/2 Masse mal Geschwindigkeit im Quadrat.

01:59 Ein wichtiger Gedanke bei dieser Aufgabe ist, dass das Objekt den Hang hinauffährt, daraufhin eine gewisse Strecke nach oben gleitet und dann schließlich stehenbleibt.

02:06 Es hört also auf einer bestimmten Höhe auf, sich zu bewegen.

02:07 Wenn es aufhört, sich zu bewegen, hat es keine Geschwindigkeit mehr, sodass die kinetische Energie am Ende gleich null ist.

02:12 Wenn wir nur die kinetische Energie kennen, wissen wir auch, wie viel Arbeit an unserem Objekt verrichtet wurde.

02:17 Wir können sagen, dass die Änderung der kinetischen Energie gleich der kinetischen Energie am Ende, nämlich null, abzüglich der anfänglichen kinetischen Energie ist.

02:26 Mit anderen Worten: Unser Objekt hat 1/2mv zum Quadrat an Energie verloren. Dies entspricht der Änderung der kinetischen Energie.

02:33 Nach unserem Arbeits-Energie-Theorem ist dies gleich der Arbeit.

02:36 Nun wollen wir sehen, ob wir einen Term für die an unserem Objekt verrichtete Arbeit formulieren und so hoffentlich die Strecke ermitteln können, die das Objekt den Hang hinaufgerutscht ist.

02:44 Die Formel für die Arbeit benötigt Informationen zur Kraft und zum Weg.

02:48 Schauen wir uns nun an, wie die Arbeit aussieht.

02:50 Wir wissen, dass die Arbeit gleich der Kraft mal dem Weg ist.

02:55 Analysieren wir also alle Kräfte, die auf unser Objekt wirken.

02:58 Erinnern Sie sich daran, dass der Weg, also die Bewegungsrichtung des Objekts hangaufwärts verläuft und wirkt.

03:03 Das Objekt bewegt sich auf dem ganzen Weg hier nach oben.

03:06 Die Kräfte in Richtung des Wegs sind die Reibungskraft sowie die Hangabtriebskraft, die Sie hier und im Diagramm sehen können.

03:15 Beachten Sie auch, dass die Normalkomponente der Gewichtskraft als Kraft in den Hang sowie die entgegen gerichtete Normalkraft senkrecht zur Bewegungsrichtung stehen. Die eine ist nach oben, die andere ist nach unten gerichtet.

03:24 Die Bewegungsrichtung ist in dieser Richtung, sodass jede dieser Kräfte zu der Bewegungsrichtung einen Winkel von 90 Grad bilden.

03:28 Denken Sie daran, dass der Kosinus von 90 Grad gleich null ist.

03:32 Aus diesem Grund tragen diese Kräfte nicht zur Arbeit bei, die an unserem Objekt verrichtet wird.

03:38 Die gesamte Arbeit wird aus dem Produkt der Hangabtriebskraft, die sich durch Fg mal dem Sinus des Winkels der Hangsteigung definieren lässt, und dem Weg, den das Objekt zurücklegt, geleistet.

03:50 Wir werden also die Entfernung für den Abstand hier verwenden.

03:52 Der Abstand, wie weit das Objekt den Hang hinaufgerutscht ist, lautet d. Das müssen wir noch lösen.

03:57 Bedenken Sie, dass es noch die Reibung gibt, die auf das Objekt wirkt.

04:01 Sie wird ebenfalls mit d multipliziert.

04:07 Nun müssen wir an den Kosinus von Theta denken, denn wir erinnern uns, dass der Weg den Hang hinaufführt, wohingegen die beiden Kräfte hangabwärts wirken.

04:14 Das bedeutet, dass der Winkel 180 Grad beträgt.

04:20 Der Kosinus von 180 Grad ist minus 1.

04:26 Das bedeutet also, dass diese beiden Kräfte, nämlich die Hangabtriebskraft und die Reibung, zur Arbeit beitragen, allerdings ist ihr Wert mit einem negativen Vorzeichen versehen.

04:36 Lassen Sie uns also das Minuszeichen hier einsetzen.

04:38 Das war also die Ergänzung zum Kosinus von Theta.

04:42 Wir haben durch den Kosinus von Theta ein negatives Vorzeichen.

04:44 Damit haben wir nun einen Term für die insgesamt geleistete Arbeit.

04:47 Er lautet minus diese 2 Kräfte mal den Weg. Lösen wir jetzt, wie wir auf den Weg kommen.

04:52 Wir haben zum einen das Produkt aus Kraft und Weg als Definition für die Arbeit.

04:56 Wir haben zusätzlich auch geklärt, dass die Arbeit der Änderung der kinetischen Energie entspricht.

05:00 Um auf das Ergebnis für den zurückgelegten Weg zu kommen, müssen wir diese zwei Terme gleichsetzen.

05:05 Wir haben also zunächst minus Fg mal den Sinus von Theta plus die Reibung.

05:13 Dies wird mit der zurückgelegten Strecke d multipliziert. Diesen Term setzen wir gleich mit minus 1/2mv zum Quadrat.

05:20 Das sind also die beiden Formeln für die Arbeit.

05:21 Die eine besteht aus dem Produkt von Kraft und Weg.

05:25 Die andere Gleichung definiert die Arbeit als Änderung der kinetischen Energie.

05:28 Jetzt müssen wir nur noch nach d auflösen. Wir multiplizieren beide Seiten mit minus 1.

05:33 Jetzt können wir sagen, dass die Entfernung, die das Objekt zurückgelegt hat, 1/2mv zum Quadrat beträgt.

05:39 Dann dividieren wir durch die Reibung und Fg mal Sinus von Theta.

05:44 Entschuldigung, ich meinte die Reibung und die Hangabtriebskraft.

05:49 Der letzte Schritt besteht nun darin, diese Gleichung zu vereinfachen.

05:52 Das ist uns bereits bekannt. Lassen Sie mich hier oben einen Kasten einzeichnen, um Sie an einige Fakten aus früheren Kursen zu erinnern.

05:58 Wir wissen, dass die Gewichtskraft gleich Masse mal Erdbeschleunigung ist.

06:01 Wir wissen auch, wie die Reibung definiert wird.

06:03 Zur Erinnerung: Die Reibung ist das Produkt aus der Normalkraft und dem Reibungskoeffizienten.

06:09 Wie wir in unseren Aufgaben mit den Newton'schen Gesetzen gelernt haben, müssen, weil keine Bewegung in oder aus dem Hang heraus erfolgt, die Normalkraft und die Normalkomponente der Gewichtskraft gleich groß sein.

06:20 Lassen Sie uns also nochmal zusammenfassen und rekapitulieren.

06:22 Die Normalkraft und die Normalkomponente der Gewichtskraft müssen gleich groß sein, weil sich unser Objekt sonst in den Hang hinein oder aus ihm hinausbewegen würde.

06:28 Somit ist FN gleich der Normalkomponente der Gewichtskraft, die sich durch Fg mal Kosinus von Theta definiert.

06:34 Als wir uns zum ersten Mal mit den Newtonschen Gesetzen befassten, erwähnte ich bereits dass es häufig vorkommen würde, dass die Normalkraft immer vorhanden ist. Wie ich sagte, haben wir bereits festgestellt, dass Fg gleich mg ist.

06:49 Daraus ergibt sich 1/2mv zum Quadrat geteilt durch mg mal den Sinus von Theta plus die Reibung, die sich durch mu-sub-k mal die Normalkraft, die wir als Fg mal Kosinus von Theta schreiben können, mal dem Reibungskoeffizienten definiert.

07:08 Dann sind wir so gut wie fertig.

07:14 Wir können diesen Term ein wenig vereinfachen, indem wir die m's auflösen.

07:18 Wir haben hier nun folgenden Term stehen: v zum Quadrat geteilt durch 2 mal g, das sich ausklammern lässt, mal den Sinus von Theta plus den Kosinus von Theta mal mu-sub-k.

07:42 Denken Sie immer an die Reibung und den dazugehörigen kinetischen Reibungskoeffizienten.

07:50 Und das ist unser sehr allgemeines Ergebnis für den Weg, den das Objekt entlang der Steigung d zurückgelegt hat.

07:57 Sie können also eine solche Aufgabe mithilfe der Variablen lösen.

08:02 Schreiben Sie, wie wir es eben auch getan haben, in Form von Variablen, die Sie in der Aufgabe gegeben haben.

08:06 Ich empfehle immer, dass Sie die endgültigen Zahlen erst ganz am Ende einfügen.

08:12 Wenn man sie zu früh einsetzt, verliert man oft den Überblick über die Einheiten.

08:15 Sie könnten den Überblick darüber verlieren, wie oft Sie den Taschenrechner benutzt haben und wie viele wichtige Zahlen Sie möglicherweise schon eingesetzt oder nicht eingesetzt haben.

08:21 Zusätzlich verliert man auch den Vorteil der Vereinfachung, wie wir es beispielsweise bei der Aufhebung der Massen oder der Ausklammerung des Faktors g gesehen haben.

08:27 Es genügt also, die eigentliche Berechnung einmal ganz am Ende mit all den Zahlen durchzuführen.

08:32 So können Sie sich viele Fehler ersparen, weshalb ich das immer empfehle.

08:36 Mit diesem Beispiel haben wir also einen guten Überblick darüber gewonnen, wie Sie die Arbeit sowohl mittels der Definition als Änderung der kinetischen Energie als auch mittels des Terms Kraft mal Weg berechnen können.

08:49 Zusätzlich haben Sie gelernt, zurückgelegte Wege zu berechnen.

08:50 Hiermit ist die Einführung in die Arbeit, die sich sowohl als Kraft mal Weg als auch als Änderung der kinetischen Energie von Objekten beschreiben lässt, abgeschlossen.

08:57 In den kommenden Vorlesungen werden wir uns noch intensiver mit dem Begriff der Arbeit beschäftigen und dann zur Idee der Eigendynamik übergehen, um dann das Thema Mechanik abzuschließen.

09:04 Dann werden Sie bereit sein, physikalische Gesetze an einigen sehr praktischen Beispielen anwenden zu können.

09:09 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.