Work: Example 1

00:01 Versuchen wir, dies auf ein Problem anzuwenden, bei dem wir eine Masse von 5 kg und zunächst eine Geschwindigkeit von 4 Metern pro Sekunde haben.

00:07 Wir üben dann eine Kraft über eine bestimmte Strecke aus, um das Objekt anzuschieben und zu beschleunigen, wodurch ihm mehr kinetische Energie verliehen wird.

00:13 Wir tun dies über eine Strecke von 2 Metern und wollen nun wissen: Wie groß ist die kinetische Energie des Objekts am Ende? Als Nächstes fragen wir uns, wie viel Arbeit an dem Objekt verrichtet wurde.

00:22 Verwenden Sie also die Definition, die wir für die Arbeit haben: Man multipliziert die Kraft mit dem Weg und multipliziert das anschließend mit dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden.

00:28 Sehen Sie nach, ob Sie auf ein Ergebnis für die Änderung der kinetischen Energie und für die geleistete Arbeit kommen.

00:33 Wenn Sie dies getan haben, wird es hoffentlich so aussehen: Sie haben ein Objekt, das anfangs eine gewisse Geschwindigkeit hat, was bedeutet, dass es eine gewisse anfängliche kinetische Energie hat.

00:41 Wir üben über eine gewisse Strecke eine Kraft auf das Objekt aus.

00:45 In diesem Fall wird es eine Strecke von 2 Metern sein.

00:47 Nachdem wir dies getan haben, wird die Geschwindigkeit viel höher sein, weil wir eine Kraft angewandt haben.

00:52 Wir haben das Objekt entlang der Bewegungsrichtung geschoben, wodurch es stetig an Geschwindigkeit zunahm, was ihm wiederum eine neue kinetische Energie am Ende verliehen hat.

00:58 Jene ist größer als die ursprüngliche kinetische Energie.

01:00 Wenn wir das alles ausrechnen, können wir feststellen, dass die Gesamtmenge an Arbeit gleich der Kraft mal der Strecke, die zurückgelegt wurde, mal den Kosinus des Winkels zwischen diesen beiden ist.

01:14 Da die Bewegung nach rechts gerichtet ist und weil auch die Kraft nach rechts gerichtet ist, ist der Winkel zwischen ihnen gleich null und somit ist der Kosinus von Theta, wobei Theta null ist, gleich 1.

01:26 Durch die Multiplikation der Kraft mit dem Weg erhalten wir also die Arbeit.

01:30 Die Arbeit ist also gleich der Kraft mal dem Weg.

01:33 Das bedeutet nach unserem Arbeit-Energie-Theorem, dass die gesamte am Objekt verrichtete Arbeit gleich der Veränderung der Energie ist.

01:40 Delta steht für die Änderung der kinetischen Energie.

01:42 Sie entspricht der kinetischen Energie am Ende abzüglich der kinetischen Energie am Anfang.

01:47 Daraus lässt sich Folgendes ableiten: Nehmen wir an, dass die kinetische Energie am Ende das ist, wonach wir zuerst suchen.

02:00 Somit gilt, dass die kinetische Energie am Ende gleich der geleisteten Arbeit plus der kinetischen Energie am Anfang ist.

02:05 Es ist sehr wichtig, die Arbeit auch in diesem Kontext zu verstehen.

02:08 Die kinetische Energie am Ende entspricht der Energie, mit der Sie begonnen haben addiert zu der Arbeit, die verrichtet wurde.

02:14 Die kinetische Energie am Ende lässt sich also ausrechnen, indem Sie die Arbeit, die wir eben mittels Kraft mal Weg berechnet haben, zu der anfänglichen kinetischen Energie addieren, die sich mittels 1/2 mv zum Quadrat berechnen lässt.

02:28 Nun setzen wir ein paar Zahlen ein und berechnen somit die kinetische Energie am Ende: Wir multiplizieren die Kraft mit dem Weg, was 10 Newton mal 2 Meter entspricht.

02:38 Das addieren wir nun zur anfänglichen kinetischen Energie, die sich durch ½ mal der Masse, die 5 kg beträgt, mal der Geschwindigkeit, die 4 Meter pro Sekunde beträgt, zum Quadrat berechnen lässt.

02:48 Die Arbeit beträgt 20 Joule. Die kinetische Energie lässt sich wie folgt berechnen: 4 zum Quadrat ist 16. Die Hälfte davon ist 8. 8 mal 5 ist 40. 40 plus 20 ist 60.

02:59 Wie wären die Einheiten in diesem Fall? Wir haben eine kinetische Energie und dabei nur SI-Einheiten verwendet.

03:04 Wir haben Kilogramm, Meter pro Sekunde und Newton als Einheiten.

03:08 Alles ist also in den SI-Einheiten, was bedeutet, dass wir uns nicht um die Umrechnung von Einheiten kümmern müssen.

03:12 Infolgedessen wird die Einheit der kinetischen Energie Joule lauten.

03:17 Der zweite Teil der Frage lautet: Wie viel Arbeit wurde von dieser Kraft verrichtet? Eigentlich haben wir das bereits berechnet.

03:25 Die Arbeit berechnet sich durch die Kraft mal den Weg.

03:28 Sie brauchen also die Kraft und den Weg, entlang dessen die Kraft wirkt.

03:32 Dieses Produkt ergibt also eine Arbeit mit einem Wert von 20 Joule.

03:37 Wenn wir dem Objekt also 20 Joule an Arbeit zufügen, indem wir es in dieselbe Richtung lenken, haben wir der kinetischen Energie des Objekts 20 Joule an Energie hinzugefügt, wodurch es viel mehr kinetische Energie als ursprünglich vorhanden hat.

03:51 Schauen wir uns nun die Bedeutung der Richtung etwas genauer an, wenn es um die Arbeit geht und lassen Sie uns besprechen, wie Sie auf den Kosinus von Theta zu achten haben.

04:01 Die wichtigsten Situationen, mit denen Sie sich wirklich gut auskennen sollten, sind folgende: Nehmen wir zunächst als Beispiel eine Piste, um eine gute Vorstellung für all die verschiedenen möglichen Richtungen und Kräfte zu kriegen.

04:13 Eine Art von Kraft könnte die Kraft sein, die den Hang hinaufsteigt und der Bewegung des Objekts den Hang hinunter entgegenwirkt.

04:19 In diesem Fall ist die Reibung also ein gutes Beispiel für eine Kraft, die dafür sorgt, dass das Objekt den Hang nicht hinunterrutscht.

04:23 Wir haben also eine Kraft, die der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist.

04:25 Wenn eine Kraft den Hang hinauf wirkt, während die Bewegung den Hang hinunterführt, beträgt der Winkel zwischen den beiden, wie Sie an den roten und blauen Pfeilen sehen können, 180 Grad.

04:36 Sie zeigen nämlich in entgegengesetzte Richtungen.

04:37 In diesem Fall ist der Kosinus von 180 Grad also minus 1, was bedeutet, dass die Arbeit negativ sein wird.

04:44 Das bedeutet, dass die Reibung versucht, das Objekt zu verlangsamen.

04:46 Andererseits könnte man die Kraft betrachten, die den Hang hinunter wirkt, nämlich die Hangabtriebskraft.

04:55 Sie entspricht, wie wir gesehen haben, Fg mal dem Sinus von Theta.

04:57 Diese Kraft wirkt also hangabwärts und liegt somit in der gleichen Richtung wie die Bewegung des Objekts gerichtet ist, nämlich in der gleichen Richtung wie dessen Geschwindigkeit.

05:04 Wenn Kraft und Bewegungsrichtung in dieselbe Richtung gehen, wie Sie an den Pfeilen hier sehen können, beträgt der Winkel zwischen ihnen null Grad.

05:10 Mit anderen Worten: sie zeigen in die gleiche Richtung.

05:12 Wenn das der Fall ist, ist die Arbeit positiv.

05:15 Sie versucht, das Objekt voranzutreiben und ihm mehr kinetische Energie zu verleihen.

05:17 Schließlich können noch einige senkrechte Kräfte auftreten, wie in diesem Beispiel: wir haben Kräfte, die in den Hang wirken, wie zum Beispiel die Normalkomponente der Gewichtskraft, die sich mittels Fg mal Kosinus von Theta berechnen lässt.

05:30 Es gibt auch Kräfte, die der Normalkomponenten der Gewichtskraft genau entgegengerichtet sind, wie zum Beispiel die Normalkraft.

05:32 Sie sorgt dafür, dass das Objekt nicht in den Hang, beziehungsweise durch ihn hindurchfährt.

05:36 Diese 2 Kräfte, die entlang der y-Achse in den Hang hinein beziehungsweise aus dem Hang heraus wirken, stehen beide senkrecht zur Bewegungsrichtung, die entlang des Hangs abwärts verläuft. Wenn Sie nun den Kosinus von Theta analysieren, wobei der Winkel Theta in diesem Fall genau 90 Grad beträgt, erhält man für den Kosinus von 90 Grad gleich null.

05:53 Mit anderen Worten verrichten die Kräfte, die in und aus dem Hang wirken keine Arbeit am Objekt, da sie es nicht anschieben, um ihm kinetische Energie zu verleihen.

05:59 Ebenso ziehen sie nicht an ihm, um dessen kinetische Energie zu reduzieren.

06:01 Es folgt keine Bewegung in Richtung dieser Kräfte und aus diesem Grund wird keine Arbeit durch diese Kräfte geleistet.

06:06 In einem Beispiel wie diesem gilt also Folgendes: wenn Sie versuchen, die Gesamtarbeit zu ermitteln, die von all diesen Kräften geleistet wird, müssen Sie die durch Reibung verursachte Arbeit berechnen und zu der Arbeit, die von der Hangabtriebskraft geleistet wird, addieren.

06:17 Dann kann die Veränderung der kinetischen Energie und die kinetische Energie des Objekts selbst bei seiner Bewegung den Hang hinunter ermittelt werden.