Standing Waves

00:01 Jetzt werden wir über das vielleicht komplizierteste Thema, den schwierigsten Aspekt des Schalls, sprechen.

00:06 Auf den nächsten Folien werden wir dieses Thema durchgehen, wirklich gut aufpassen oder uns zumindest etwas Zeit nehmen und ein paar Mal wiederholen, weil es verwirrend sein könnte.

00:16 Was wir tun werden, ist Folgendes: Wir werden über eine sogenannte stehende Welle sprechen, und um eine Welle darzustellen, müssen wir über diese Druckwellen sprechen, also die Geräusche, während sie sich bewegt.

00:27 Wir werden es so darstellen, wie wir es hier sehen.

00:30 Erstens haben wir hier im Blauen, das die Dichte des Schalls anzeigt, die Dichte der Luft, während sich der Schall durch sie bewegt.

00:37 Es gibt weniger dichte und dichtere und weniger dichte und dichtere, usw.

00:41 Wir werden den Druck an verschiedenen Punkten entlang dieser sich tatsächlich ändernden physikalischen Dichtewelle einzeichnen, während wir die Welle entlanggehen.

00:50 Ich zeichne hier also den Druck dieser Welle auf.

00:53 Im helleren Blau haben wir also niedrigen Druck und dann im dunkleren Blau haben wir hohen Druck und dann so weiter Niederdruck, Hochdruck, Niederdruck.

01:00 Wir zeichnen also diese Kurven auf, diese grünen Kurven, wie ich sie hier gezeigt habe.

01:05 Wir sollten uns darüber im Klaren sein, dass wir nicht nur über etwas, das sich auf und ab bewegt, sprechen.

01:11 Davon ist hier überhaupt nicht die Rede, sondern wir zeichnen den Druck der Schallwelle auf und deshalb stellen wir das mit Hilfe eines Graphen dar.

01:17 Aber wir sprechen immer noch von einer Druckwelle, also einer Schallwelle.

01:23 Eine stehende Welle entsteht, wenn man ein Objekt hat, in dem der Schall auftritt. Es könnte sich also um ein Rohr handeln.

01:29 Es könnte zum Beispiel eine Orgelpfeife sein, es könnte eine Flöte sein, es könnte alles sein, was einen Klang hat.

01:34 Diese durchlaufenden Druckwellen bezeichnen wir als stehende Welle.

01:38 Und was wir bei einer stehenden Welle haben, sind Schwingungen, mit Teilen, die am stärksten schwingen, also mit den höchsten bis niedrigsten Drücken und den dazwischen liegenden Teilen, maximalen und minimalen Drücken.

01:50 Diese Nullpunkte, die wir sehen können, wie sie die grüne Achse kreuzen, ändern sich nicht.

01:53 Mit anderen Worten: Betrachten wir diese spezielle Druckwelle, die ich hier gezeichnet habe.

01:58 Der Teil, wo die blaue Linie die grüne Achse kreuzt, wird als Null- oder Atmosphärendruck bezeichnet.

02:04 Wir sagen also, dass es keinen zusätzlichen Druck über dem typischen atmosphärischen Druck, der in unserem Rohr herrscht, gibt.

02:10 Bei der stehenden Welle sind das die Punkte, an denen die Schallwelle den Nullpunkt durchläuft.

02:14 Mit anderen Worten: egal, wo man sie anbringt, der Atmosphärendruck ändert sich nicht, die Punkte bleiben genau dort, wo sie sind.

02:19 In ähnlicher Weise verhält es sich mit den maximalen Punkten. Also die Punkte, die den höchsten Druck am Ende des Rohres erreichen und die minimalen Punkte, an denen der niedrigste Druck in der Leitung herrscht, der geringer als der Atmosphärendruck ist. Also der, wo eine Fraktion eine geringere Verdichtung aufweist.

02:34 Diese maximalen und minimalen Punkte bleiben ebenfalls an ihrem Platz.

02:37 Der maximale Punkt wird zwischen hoch und niedrig und hoch und niedrig schwingen, aber er wird immer der maximale Punkt auf unserer Welle sein.

02:44 Die Nullpunkte, die die Nullstelle kreuzen, bleiben als Nullpunkte erhalten und das definiert für uns eine stehende Welle.

02:51 Bei stehenden Wellen können wir über einige verschiedene Arten von Objekten sprechen.

02:55 So zum Beispiel dieses Rohr hier.

02:56 Bei diesem Rohr befindet sich direkt am Ende eine Wand.

03:01 Wir sagen also, dass dieses Rohr an einem Ende geschlossen und am anderen Ende offen ist.

03:05 Dazu definieren wir einige Bedingungen, denen die Schallwelle immer bei dieser besonderen Art von Knotenpunkten, entweder an der Wand oder an der offenen Stelle, folgen muss.

03:15 An der Wand, wie wir sie in diesem Rohr haben, gibt es nur eine physische, tatsächliche Wand, an der die Luft nicht vorbeiströmen kann.

03:21 Wir erhalten maximalen Druck, denn wenn die Luft einströmt und gegen die Luft neben der Wand drückt, kann die Luft an der Wand nirgends entweichen.

03:29 Sie sitzt also wirklich fest und dadurch wird ein maximaler Druck erreicht, ein Höchstdruck.

03:34 Ähnlich verhält es sich, wenn sich die Luft von dieser Wand wegbewegt und keine Luft eindringen kann, um das zu kompensieren, sodass wir dann zu einem niedrigsten Druck übergehen.

03:41 Gleiches gilt für ein Rohr mit einem geschlossenen physikalischen Ende, an dem immer der maximale Druckpunkt in diesem Rohr sein wird.

03:48 Am offenen Ende des Rohrs herrschen dann genau die gegenteiligen Bedingungen, die wir einhalten müssen.

03:53 Am offenen Ende des Rohrs ist die Luft in der Atmosphäre ist so reichlich vorhanden, dass es keine Möglichkeit gibt, wirklich Druck aufzubauen.

04:01 Denn sobald wir auch nur den geringsten Druck haben, der nicht bei Null liegt, kann Luft von außen eindringen, wo die Luft zum Ausgleich wieder nach außen strömen kann, um sicherzustellen, dass wir am offenen Ende des Rohrs keinen Druck aufrechterhalten, der nicht gleich Null ist.

04:13 Wir haben also das, was wir die Randbedingungen für unser Rohr nennen.

04:15 Auch hier gilt ein maximaler Druck am nahen Ende eines Rohrs und ein minimaler Druck oder Atmosphärendruck am offenen Ende eines Rohrs.

04:25 Wenn das stimmt, wenn wir also tatsächlich diese Randbedingungen haben, die wir für eine stehende Welle und ein Rohr nennen, bei denen wiederum die Nullpunkte dort bleiben, wo sie sind, und die Maximalpunkte maximal bleiben, also entweder am positivsten oder am negativsten sind.

04:38 Wir können für uns selbst die niedrigste mögliche Frequenz oder die größte, längste Wellenlänge des Schalls definieren, die möglicherweise in ein Rohr passen kann.

04:48 Zum Beispiel bei diesem Rohr, das ein geschlossenes und ein offenes Ende hat.

04:51 Wie wir gerade gesagt haben, muss am geschlossenen Ende ein maximaler Druck herrschen, während am offenen Ende ein minimaler- oder Nulldruck herrscht.

05:00 Wenn das wahr wäre, könnten wir in dem Rohr, das ich hier gezeigt habe, keine längere Wellenlänge haben, denn wenn ich versuche, die Wellenlänge noch weiter zu erweitern, gibt es keine Möglichkeit, dass ich am geschlossenen Ende noch ein Maximum habe und das Minimum oder Null direkt am offenen Ende.

05:13 Wenn ich also diese spezielle Welle ganz herausgezogen habe, dann ist das eine gute Sache.

05:16 Wir können sehen, wie die gesamte Welle aussieht und wir können die Wellenlänge, die Frequenz, usw. dieser Welle messen.

05:24 Zum Beispiel im Fall für eine beliebige Welle, wo es darum geht, die kleinste Wellenlänge oder die größte Wellenlänge oder die kleinste Frequenz oder die höchste Frequenz zu ermitteln.

05:34 Die kleinste Frequenz ist der niedrigste, also der tiefste Klang, den dieses Rohr erzeugen kann.

05:39 Die Grundfrequenz für dieses Rohr, und wieder könnten wir diese Punkte beschreiben, die wir gerade erörtert haben, also die Maximalpunkte und die Minimalpunkte.

05:50 Die Maximalpunkte, die wir als Stehwellen-Maximum bezeichnen, und die Minimalpunkte (Nullpunkte), die sich nicht bewegen können, die dort bleiben müssen, wo sie sind, werden als Schwingungsknoten bezeichnet.

05:58 Wir haben also die Schwingungsknoten, an denen sich kein Druck aufbauen oder verringert werden kann und wir haben die Stehwellen-Maxima, die genau das Gegenteil sind, und immer die Maxima oder Minima darstellen.

06:08 Lasst uns ein Beispiel ansehen, wie sich diese in den wenigen physischen Szenarien darstellen.

06:13 Bei diesen Beispielen habe ich das geschlossene und ein offenes Ende.

06:17 Wir können die gesamte Welle zeichnen, wie wir es besprochen haben.

06:20 Schauen wir uns also einige der Eigenschaften an.

06:22 Wenn wir diese ganze Welle zeichnen, dann können wir sehen, wie lang die Wellenlänge ist, nämlich sehr groß, viel länger als die Länge des Rohrs.

06:28 Das Rohr hat also eine gewisse Länge, wir bezeichnen sie mit L.

06:31 Wir haben also eine bestimmte Länge des Rohrs und eine bestimmte Wellenlänge der Schallwelle, die wiederum viel länger ist als die Länge L des Rohrs.

06:39 Wir können dann sehen, wie diese beiden zusammenhängen, da wir wissen, dass wir einen Schwingungsknoten oder einen Maximalpunkt direkt am Ende des Rohrs und Atmosphärendruck am Nullpunkt direkt am offenen Ende des Rohres haben.

06:52 Wir können den Rest der Welle zeichnen und sehen, dass wir 4L haben, also 4 Rohrlängen in unserer gesamten Welle.

06:59 Auf diese Weise können wir die Länge des Rohrs als ein Viertel der Gesamtwellenlänge dieser Grundfrequenz dieser Schallwelle bestimmen.

07:09 Durch einfaches Umrechnen können wir für ein bestimmtes Rohr die Wellenlänge der niedrigsten Frequenz ermitteln, die in dieses Rohr passt.

07:16 Das ist also ein wichtiger Punkt, denn in einer realen physischen Situation hätten wir Zugang zu einem Rohr.

07:23 Wir würden ein physisches Rohr vor uns haben und so könnten wir dessen Länge messen, nur indem wir uns die Länge dieses Rohrs mit einem geschlossenen und einem offenen Ende ansehen.

07:30 Wir können die Gleichung auflösen und umstellen und finden heraus, welche Wellenlänge in dieses Rohr passt.

07:35 Die längste Wellenlänge ist die niedrigste Frequenz, sodass wir herausfinden können, was die Grundfrequenz einer Welle und einem Rohr wie diesem ist.

07:43 Dies ist jedoch nicht die einzige Frequenz, die in das Rohr passt.

07:47 Wir haben gesagt, dass dies die niedrigste Frequenz oder die längste Wellenlänge ist, die in das Rohr passt, aber wir könnten diese Wellenlänge auch verringern.

07:55 Wir könnten also diese Welle hineinwerfen, aber trotzdem noch unsere Bedingungen erfüllen.

07:58 Zum Beispiel habe ich das hier gemacht.

08:00 Wir könnten die Welle soweit hineinbewegen, bis der nächste Punkt, der nächste Nullpunkt bei unserem Zusammendrücken auch die Nullachse an einem Ende des Rohrs geschnitten hat, was unsere Anforderung ist. Und so entspricht diese Wellenlänge, die viel kürzer ist als die, die wir zuvor gesehen haben, auch den Anforderungen, die wir für die Enden unserer Rohre haben.

08:18 In diesem Fall könnten wir genau dieselbe Art von Analyse durchführen und vergleichen die Länge des Rohrs mit der Wellenlänge dieser Welle.

08:27 Das ist nicht mehr die grundlegende Wellenlänge.

08:29 Das ist nicht mehr die Grundfrequenz.

08:31 Das liegt daran, dass wir nicht die längste Wellenlänge haben, die möglich ist, sondern sie gekürzt haben.

08:36 In diesem Fall beträgt die Länge also nicht mehr ein Viertel der Gesamtwellenlänge.

08:40 Wir haben jetzt einen anderen Fall, nämlich dass die Länge nun drei Viertel der Gesamtwellenlänge beträgt und wir können wieder umstellen und die neue Wellenlänge finden, die für diese bestimmte Frequenz passt.

08:51 Wenn wir so weitermachen würden, unsere Welle also immer kleiner und kleiner und kleiner machen, dann könnten wir weiterhin alle verschiedenen Wellenlängen finden, die in unser Rohr passen könnten.

09:00 Wir könnten also eine Wellenlänge haben, die 4 Mal so lang ist wie unser Rohr, welches unsere Grundlage ist. Genauso könnten es 4 Drittel und dann 4 Fünftel sein, und dieses Muster würde sich permanent wiederholen.

09:09 Immer diese Zahl 4 über eine Folge von verschiedenen ungeraden Zahlen, 1 und dann 3 und dann 5, während wir unsere Welle immer weiter zusammenschieben.

09:20 Es gibt eine andere Möglichkeit, dies umzuschreiben.

09:21 Schauen wir uns also einfach die Gleichung der Wellenlänge an, die wir hier unten haben.

09:26 Wir haben gesagt, dass im Zähler all dieser Zahlen, die wir hier aufgeschrieben haben, immer die Zahl 4 stand, und wir haben gesagt, dass der Nenner eine Folge von ungeraden Zahlen war, also 1 und dann 3 und dann 5 usw.

09:38 Die Art und Weise, wie dieses Thema besprochen wird, könnte einer der verwirrendsten Punkte sein, also seien wir ein wenig vorsichtig und gehen es vielleicht noch ein paar Mal durch um sicherzustellen, dass es Sinn ergibt.

09:46 Oft wird das so dargestellt, dass man den Nenner in Abhängigkeit von einer ganzen Zahl n umschreibt.

09:52 Die Zahl n, die wir hier unten haben, ist also 2 mal n plus eins.

09:56 Dieses n ist immer eine ganze Zahl.

09:58 Es kann also eine Null sein oder eine 1 oder eine 2 oder eine 3 usw.

10:03 Aber es kann jede ganze Zahl sein, nicht nur die ungeraden oder nur die geraden Zahlen.

10:06 Wir schreiben hier 2 und plus 1, um sicherzustellen, dass wir eine ungerade Zahl haben.

10:11 2 mal eine ganze Zahl ergibt also per Definition immer eine gerade Zahl, denn eine gerade Zahl ist eine Zahl, die man immer durch zwei teilen kann und ich kann immer 2 mal n durch 2 teilen, einfach durch die Art, wie wir es gebildet haben.

10:24 Wenn ich 2 n durch 2 teile, erhalte ich eine ganze Zahl, was wiederum die Voraussetzung für eine gerade Zahl ist.

10:30 Wenn man also 1 zu 2 n addiert, erhält man immer eine ungerade Zahl.

10:35 Dies ist also eine Art cleverer Trick, um immer eine ungerade Zahl zu erhalten.

10:39 Man nimmt eine beliebige ganze Zahl und multipliziert sie mit 2, um eine gerade Zahl zu erhalten und addiert dann 1, um sie zu einer ungeraden Zahl zu machen.

10:46 Wir wissen also, dass es eine ungerade Zahl ist.

10:47 Fangen wir also zum Beispiel damit an, ein paar Zahlen einzusetzen.

10:49 Angenommen, ich setze ein n gleich Null, dann habe ich mein Lambda, meine Wellenlänge ist gleich 4L über 1, was unsere erste Frequenz ist.

10:57 Setzt man nun die nächste Zahl ein, mit n gleich 1, dann habe ich 4L über 2 plus 1 oder 4L über 3, was unsere nächste Frequenz ist.

11:07 Die nächste Wellenlänge also, die in unser Rohr passen kann.

11:09 Wir sehen, wie das funktioniert: Wir können eine Zahlenfolge wie die, die wir hatten, in Form dieser ganze Zahl n umschreiben, mit der wir alle verschiedenen Wellenlängen zählen können, die in das gegebene Rohr passen könnten.

11:21 Auch die Frequenz können wir anhand dieser Wellenlänge ermitteln.

11:25 Wir haben schon viel über die Grundfrequenz gesprochen, aber wenn wir die Gleichung mit unserer Geschwindigkeit umstellen, erhalten wir unsere Wellengeschwindigkeitsgleichung.

11:32 Wir können für die Frequenz bestimmen, die die Geschwindigkeit der Welle ist und das ist wiederum die Schallgeschwindigkeit, wenn wir über Schallwellen sprechen, geteilt durch die Wellenlänge, die wir gerade gefunden haben, und auch dies ergibt sich wieder aus unserer Geschwindigkeitsgleichung für Wellen.

11:45 Und damit haben wir eine Gleichung für alle möglichen Frequenzen des Schalls, die in unser Rohr passen könnte, und sie sieht so aus: Geschwindigkeit geteilt durch 4 mal die Länge des Rohres und dann mal diese 2n, plus Faktor 1.

11:56 Auch hier werden alle verschiedenen Frequenzen gezählt, die in unser Rohr passen, und die Grundfrequenz wäre, wenn n gleich Null ist, die erste Frequenz und die niedrigste Frequenz, die in unser Rohr passen würde, die in unser Rohr passen würde.