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Die Aufgabe, die Sie vor sich sehen,
ist ein perfektes Beispiel dafür, wie
wissenschaftliche Notationen verwendet werden. Die Zahlen sehen
auf den ersten Blick so gewaltig aus, dass die Berechnung
wirklich einschüchternd wirkt. Vor allem dann, wenn man in einer Prüfung sitzt
und versucht, Zeit zu sparen.
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Das werden wir gleich bei dieser Aufgabe versuchen,
indem wir die wissenschaftliche Schreibweise verwenden.
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Ich möchte, dass Sie versuchen diese Aufgabe
mit der Hilfe dieser Schreibart zu lösen,
um zu sehen, ob Sie den Prozess so beschleunigen können.
Pausieren Sie kurz das Video und
versuchen Sie es gleich einmal.
Also, verschwenden wir keine Zeit mehr, machen wir uns an die Arbeit.
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Wenn wir diese Aufgabe mit Hilfe
der wissenschaftlichen Notation lösen wollen, müssen wir
als Erstes jede unserer drei Zahlen in die bereits bekannte Form umschreiben.
Zuerst schreiben wir die Zahl 3200 um,
indem wir den Dezimalpunkt von rechts nehmen
und ihn um ein, zwei, drei Stellen verschieben.
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Dadurch ergibt sich 3,2 x (mal)
10³ (hoch 3). Das ist jetzt genau dieselbe Zahl wie zuvor,
nur in einer anderen Schreibweise.
Wenn wir das Gleiche mit der nächsten Zahl machen,
sehen wir eine Verschiebung des Kommas um ein, zwei, drei, vier, fünf, sechs Stellen.
Das wäre also 5 mal 106 (hoch sechs). Schließlich
gibt es noch eine sehr lange Zahl,
die um ein, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun Stellen verschoben wird.
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Diese Zahl, die wir jetzt teilen, entspricht also
2,5 mal 109 (hoch 9).
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Um die Berechnung zu vereinfachen, werden wir
nichts einfach überspringen, sondern jedes
dieser Präfixe, die 3,2; die 5 und die 2,5;
einzeln nach vorne bringen.
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3,2 x (mal) 5 / (dividiert durch) 2,5. Dann können wir das
Ganze noch viel einfacher gestalten, indem wir alle Potenzen
von 10 hier auf der rechten Seite einsetzen. Wir haben also 10³
mal 106, geteilt durch 109.
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Als Letztes müssen wir uns alle
Regeln für die Multiplikation
von Exponenten einprägen, und die sehen wie folgt aus:
103 mal 106 ergibt,
Nach Analyse bzw. Addition den Hochzahlen,
103+6 (hoch 3 + 6) = 109
nach dem Zusammenfassen dieser Hochzahlen ergibt sich somit folgende Rechnung:
109 (hoch 9) / 109 (hoch 9).
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Wir sehen also, dass sich diese Zahlen aufheben und 1 ergeben.
Diese gesamte Gleichung auf der rechten Seite
vereinfacht sich somit zu 1. Das bedeutet: Alles,
was wir tun müssen, ist die Zahlen vorne zu analysieren.
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3,2 x (mal) 5 / (geteilt durch) 2,5. Ein einfacher Weg, das zu
schaffen, wäre zu sehen, wie oft 2,5 in 5 enthalten ist,
nämlich 2x. Somit vereinfacht sich das Ganze
auf 3,2 x (mal) 2, was 6,4 ergibt.
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Das ist unsere endgültige Antwort, die viel
einfacher aussieht als die ursprüngliche Aufgabe.
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Ein Beispiel das zeigt: Die wissenschaftliche Notation
ist eine großartige Möglichkeit,
komplexe Probleme viel effizienter zu lösen. Man muss
einfach nur die 10er-Potenzen berücksichtigen.
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Jetzt gehen wir zur Einheitenanalyse über. Und hier ist
ein großartiges Beispiel dafür, wie man sich die vorstellen kann.
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Die Gleichung, die Sie jetzt vor sich sehen, ist nichts,
was Sie jetzt auswendig lernen oder worüber
Sie sich Sorgen machen sollten. Der Punkt ist, dass wir in naher Zukunft
eine Gleichung wie diese finden werden.
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Eine Bewegungsgleichung.
Dabei hängt das x von vielen verschiedenen Variablen ab.
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x = x0 + v0t und vielen anderen
Dingen. Was uns interessiert, ist, was passiert, wenn man
in einer Klausur sitzt und sich nicht mehr genau an
die Formel erinnert, die man vor sich sieht.
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Ob sie ein a x (mal) t enthält, ein halbes a x (mal) t
oder ein halbes a x (mal) t² (zum Quadrat)?
Mit Hilfe der Einheitenanalyse können wir schnell verstehen oder
uns daran erinnern, welche dieser Einheiten es sein muss. Und das ohne auf
Tabellen zurückgreifen zu müssen oder in Panik zu geraten.
Das Ganze geht folgendermaßen:
Ob x in der Abhängigkeit von a x (mal) t² zum Quadrat oder
a x (mal) t abhängt, können wir anhand der Maßeinheiten herausfinden.
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Diese Einheiten sind Etwas, das wir durchgehen
und besprechen werden und das Sie von der physikalischen
Grundlagen des Problems kennen. Vor allem
werden wir für die Einheiten Klammern um die Variablen herum verwenden,
so wie diese eckigen Klammern um x und um t,
usw..
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Klammern um x bedeuten also, dass es sich um Einheiten handelt,
und in diesem Fall ist die Einheit von x Meter.
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Das deutet eine Positionsvariable an. Die Einheiten von t
sind Sekunden, da t unsere Zeitvariable ist.
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Die werden wir gleich besprechen. Die Einheiten von a sind Meter
pro Sekunde oder Meter pro Sekunde² (zum Quadrat).
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Wenn man das weiß, kann man die Frage
im Handumdrehen lösen:
Hängt x von a x (mal) t² (zum Quadrat) ab oder von
a x (mal) t?
Wenn ich mir die Einheiten von a x (mal)
t² (zum Quadrat) anschaue, kann ich sehen, dass
die Einheiten der Beschleunigung Meter pro Sekunde² (zum Quadrat) sind.
Wenn ich also mit t² (zum Quadrat) multipliziere,
multipliziere ich mit Sekunden² zum Quadrat. Die quadrierten Sekunden
aus dem Zähler von t² (zum Quadrat) und dem
Nenner dieser Variablen a heben sich
gleichmäßig auf und ergeben nur Meter, und das ist es, was wir wollen -
nämlich Meter für diese Variable x. Wenn ich mir jedoch diese andere
Größe ansehe, a x (mal) t, sind es nur Meter pro Sekunde² (zum Quadrat)
mal Sekunden. Und nur eine dieser Einheiten von Sekunden
hebt sich auf, so dass ich falsche Einheiten für x habe,
von denen wir wissen, dass es Meter sein müssen.
Es bleibt hier also bei Metern pro Sekunde.
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So können wir sofort sehen, dass die Einheiten von Beschleunigung
x (mal) Zeit, was dieses a (Beschleunigung) darstellt,
die Einheiten von a x (mal) t falsch sind. Sie sind Meter
pro Sekunde. Wenn wir uns also die Einheiten ansehen,
können wir erkennen, dass die Einheiten für die Variable x,
wenn man sie in eine Gleichung schreibt,
a x (mal) t² (zum Quadrat) sein müssen.