Power: Example

00:01 Schauen wir uns nun ein kurzes Beispiel an, in dem Sie die Arbeit und die Leistung nochmals rekapitulieren können.

00:07 Für dieses einfache Beispiel verwenden wir wieder einen Apfel.

00:09 Wir starten aus einer bestimmten Höhe und haben eine bestimmte Masse des Apfels, m genannt.

00:12 Auch hier handelt es sich nur um Variablen. Es gibt hier keine Zahlen, woran wir uns mehr und mehr gewöhnen müssen.

00:17 Wir könnten uns fragen, wie viel Arbeit durch die Schwerkraft geleistet wird, wenn der Apfel aus einer Höhe h fällt.

00:21 Wir könnten uns fragen, welche durchschnittliche Kraft die Schwerkraft über die gesamte Strecke ausgeübt hat und wir könnten uns auch fragen, wie hoch die Leistung war, als der Apfel die halbe Fallstrecke erreicht hat.

00:32 Ich empfehle Ihnen, dies auf der Grundlage der bisher vorgestellten Definitionen zu versuchen.

00:36 Danach werden wir es auch hier versuchen.

00:39 Wenn Sie sich mit der Aufgabe befasst haben, wird es hoffentlich in etwa so aussehen: Im ersten Teil besprechen wir nun, wie viel Arbeit durch die Schwerkraft geleistet wurde.

00:47 Wir kehren zu unserer Definition von Arbeit zurück.

00:50 Arbeit ist eine Kraft mal eine Strecke mal der Kosinus des Winkels zwischen Kraft und Strecke.

00:56 In diesem Fall fällt unser Objekt, sodass die Strecke hier nach unten gerichtet ist.

01:00 Die Schwerkraft wirkt ebenfalls nach unten, sodass der Winkel zwischen der Kraft und der Strecke null Grad beträgt. Sowohl Kraft als auch Strecke zeigen in dieselbe Richtung.

01:09 Wir brauchen folglich nur Kraft mal Strecke.

01:12 Die Gewichtskraft ist mg, der Abstand ist h und die von der Schwerkraft verrichtete Arbeit ist somit mgh.

01:25 Die Begriffswiederholung der Arbeit war somit recht einfach.

01:29 Nun können wir dieses Ergebnis verwenden, um die durchschnittliche Kraft der Schwerkraft während der gesamten Zeit zu ermitteln.

01:36 Wir haben erwähnt, dass die Arbeit gleich mgh ist und wir wissen, dass die Leistung gleich der Arbeit pro Zeiteinheit ist.

01:46 Im Folgenden geht es darum, die durchschnittliche Leistung zu ermitteln, die genau wie die durchschnittliche Geschwindigkeit ist.

01:52 Das bedeutet, dass wir die gesamt geleistete Arbeit über die gesamte Zeitänderung hinweg betrachten.

01:57 Die Arbeit haben wir eben schon erläutert. Sie definiert sich hier durch m mal g mal h.

02:02 Wir müssen also nur noch durch die Zeit dividieren, die dieser Fall insgesamt gebraucht hat.

02:06 Das bedeutet also, dass wir ein weiteres Mal auf unsere gelernten Gleichungen aus der Mechanik zurückgreifen müssen.

02:11 Unsere Position zu einem bestimmten Zeitpunkt ist gleich der Ausgangsposition plus der Anfangsgeschwindigkeit mal der Zeit minus 1/2gt im Quadrat.

02:20 Für die Beschleunigung müssen Sie minus g einsetzen.

02:23 Ich empfehle Ihnen, die Gleichungen zum Thema Mechanik immer zu wiederholen und zu rekapitulieren, wie wir diese verwenden, damit Sie die Gleichungen ohne Probleme richtig anwenden können.

02:29 Wir lösen nach der Variable für die Zeit auf, um jene zu berechnen.

02:33 Wir gehen hier davon aus, dass es keine Anfangsgeschwindigkeit gab und lösen nach der Zeit auf.

02:39 Also ist minus 1/2gt im Quadrat gleich x minus x0.

02:46 Sie müssen also die Anfangs- von der Endposition subtrahieren.

02:48 Wir können die Quadratwurzel ziehen, nachdem wir beide Seiten mit minus 2 durch g multipliziert haben.

02:54 Wir sehen, dass dies gleich minus 2 x minus x0 durch g ist.

03:02 Bezüglich des x minus x0 müssen wir aufmerksam sein.

03:06 Die Endposition x ist gleich Null. Die Anfangsposition x0 ist gleich h.

03:13 Die Endposition minus der Anfangsposition ist also Null minus h, was einer negativen Zahl, nämlich negativ h, entspricht, Für Quadratwurzeln sind negative Werte suboptimal, da aus ihnen dann keine Wurzel gezogen werden kann.

03:24 Da wir aber zusätzlich mit minus 2 multiplizieren, hebt sich das negative Vorzeichen auf.

03:28 Wir erhalten für die Zeit die Quadratwurzel aus 2h geteilt durch g.

03:31 Das war also nur eine kurze Nebenbemerkung, um herauszufinden, wie lange der Fall braucht.

03:36 Das war also die Frage zur Falldauer, die wir nun erfolgreich beantwortet haben.

03:39 Wir setzen jetzt diese Zeit in unsere Gleichung ein.

03:42 Wir setzen die Quadratwurzel aus 2h geteilt g ein und weil wir in dieser Kasuistik keine Werte für die Variablen vorgegeben bekommen haben, können wir mit dem, was uns angegeben wurde, nicht viel mehr anfangen.

03:52 Was wir jetzt wissen, ist, dass sich unsere Leistung während der gesamten Falldauer mittels mgh geteilt durch die Wurzel aus 2h geteilt durch g berechnen lässt.

04:00 So, mittlerweile haben wir die Arbeit berechnet, die durch die Schwerkraft geleistet wird und wir haben die Leistung berechnet, also wie viel Arbeit während der Falldauer verrichtet wurde.

04:11 Wir können noch etwas anderes tun: statt nach der durchschnittlichen Leistung zu fragen, also vermerke ich hier den Durchschnitt für die Leistung, können wir nach der Leistung zu einem bestimmten Zeitpunkt fragen.

04:20 Die Leistung ändert sich nämlich in Abhängigkeit davon, wie viel Arbeit in einer bestimmten Zeit geleistet wurde.

04:24 In dem Fall könnte es einfacher sein, unsere andere Definition von Leitung zu verwenden, nämlich, dass Leistung eine Kraft mal eine Geschwindigkeit ist.

04:36 In diesem Fall haben wir also eine gewisse Geschwindigkeit auf der Höhe h geteilt durch 2, da wir die Hälfte der Strecke hinter uns haben.

04:43 Wir wissen immer noch, dass die Kraft die Schwerkraft mgh ist.

04:48 Die einzige Frage ist also, ob wir die Geschwindigkeit auf der Hälfte der Fallstrecke berechnen können.

04:51 Die Leistung ist also gleich mgh mal v. V fehlt uns noch. Versuchen wir nun, diese Geschwindigkeit zu berechnen.

04:57 Das ist etwas, das wir inzwischen recht gut beherrschen, da wir es schon oft am Beispiel der Energie geübt haben.

05:02 Die Energie am oberen Ende der Bahn besteht nur aus potenzieller Energie, die sich mittels mgh ausdrücken lässt. Es liegt am Ausgangspunkt keine Bewegung und somit keine kinetische Energie vor.

05:11 Auf halbem Weg ist die Energie teilweise kinetisch und teilweise potenziell.

05:16 Wir hätten also mg mal seine Höhe, im folgenden Fall h geteilt durch 2, als Gleichung für die potenzielle Energie.

05:22 Die kinetische Energie ließe sich, weil der Apfel in Bewegung ist, mittels 1/2 Masse mal Geschwindigkeit im Quadrat angeben.

05:29 Wir haben also 2 Energien und können hiermit die Geschwindigkeit bestimmen.

05:32 Das ist also alles nur ein kurzer Hinweis gewesen, um die Geschwindigkeit zu bestimmen. Was ist nun also die Geschwindigkeit? Wenn wir diese beiden Energien gleichsetzen, können wir feststellen, dass E1 gleich E2 ist.

05:41 Das wiederum bedeutet, dass mgh gleich mgh geteilt durch 2 plus 1/2mv im Quadrat ist.

05:51 Wir können jetzt also ganz leicht die Geschwindigkeit bestimmen.

05:54 Wir haben 1/2 mv im Quadrat gleich mgh minus 1/2mgh, also 1/2mgh.

06:02 Wir können beide Seiten mit 2 multiplizieren und beide Seiten durch m dividieren und sehen dann, dass die Geschwindigkeit in diesem Fall gleich der Quadratwurzel aus g mal h ist.

06:11 Hiermit haben wir unsere Geschwindigkeit bestimmt.

06:13 Die ganzen Gleichungen dienten nur dazu, diesen Wert zu finden.

06:16 Wir können das Ergebnis also wieder oben einfügen und erhalten die Kraft mgh mal die Geschwindigkeit, die wiederum die Quadratwurzel aus gh ist.

06:25 Nochmals: das ist die Leistung auf der Hälfte der Strecke.

06:29 So lässt sich die Gleichung für die Leistung also schreiben, da wir in diesem Fall keine Zahlen vorgegeben haben.

06:33 Sie konnten bisher immer Zahlen bei den bereits berechneten Aufgaben in die Gleichungen einsetzen.

06:35 Wir hatten im soeben besprochenen Fall eine Gleichung mit Variablen, nach denen wir hier aufgelöst haben.

06:42 Hiermit wären wir am Ende angelangt. Dies ist eine gute Zusammenfassung der Funktionsweise der Leistung, wie Leistung und Arbeit funktionieren und wie man die Zeit oder die Geschwindigkeit ermittelt, um die Leistung zu berechnen.

06:53 Nachdem wir nun eine grundlegende Zusammenfassung darüber gegeben haben, wie Arbeit und Leistung mit Kraft und Energie zusammenwirken, sind wir bereit, zu unserem letzten Thema überzugehen, um das gesamte Kapitel des Kurses Mechanik abzuschließen.

07:06 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.