Integration Method

00:01 Nach dieser erschöpfenden Anwendung der Trapezregel schauen wir nun, ob es einen schnelleren Weg gibt, um das durchzuführen.

00:08 Ich zeige Ihnen jetzt die Standardmethode der Integration.

00:11 Dabei handelt es sich im Grunde um eine Integration, die rückwärts abläuft. Wir verwenden unserer Ableitungsmethoden wenden sie zur Integration aber rückwärts an.

00:18 Wir werden über die allgemein gültige Schreibweise sprechen, darüber, was es bedeutet, zu integrieren, wie die Integration durchgeführt wird und wie Werte von Flächen unter Kurven gefunden werden können.

00:28 Beginnen wir mit der Betrachtung einer Beispielskurve. Wir haben diese Kurve und wir nennen sie f(x).

00:45 Möchte ich die Fläche unter der Kurve finden, würde ich das als Integral ausdrücken.

00:50 Für uns Mathematiker ist dieses Zeichen das Integral.

00:54 Integration bedeutet im Grunde die Größe einer Fläche zu bestimmen.

00:57 Dieses kleine Integrationszeichen wird normalerweise neben die zu integrierende Funktion geschrieben.

01:01 Handelt es sich um eine Funktion von x, können wir dx an das Ende setzen. Dieses legt unsere Integrationsvariable fest.

01:10 Wir integrieren dementsprechend nach der Variable x.

01:14 Bei der Differentialrechnung haben wir eine allgemeine Steigung bestimmt.

01:18 Um spezifische Steigungen in bestimmten Punkten zu finden, haben wir dann Zahlen eingesetzt.

01:25 Auch in diesem Fall bestimmen wir zunächst eine allgemeine Funktion zur Berechnung der Fläche.

01:30 Wir nennen diese F(x).

01:32 Und diese ist eine allgemeine Funktion für die Fläche unter der Kurve.

01:44 Wenn Sie eine genauere Flächenberechnung durchführen, schreiben Sie ebenfalls f(x) dx, ergänzen am Integral jedoch seitliche Grenzen.

01:54 Das ähnelt der Trapezregel.

01:58 Das bedeutet: Verwende ich diese Funktion hier, kann ich damit die gesamte Fläche unter der Kurve bestimmen.

02:04 Wir suchen dann nach dem gesamten Bereich unter dieser Kurve.

02:08 Lege ich aber Grenzwerte für b und a fest, also bestimme ich beispielsweise, dass b hier und a dort ist, dann kann ich von a und b aus eine gerade Linie bis zu meiner Kurve ziehen und somit einen bestimmten Bereich abgrenzen, dessen Fläche ich bestimmen möchte.

02:29 Das sind also zwei verschiedene Arten von Integralen.

02:32 Die Berechnungen sind ähnlich, aber die Aussagekraft unterscheidet sich.

02:38 Dieses wird als unbestimmtes Integral bezeichnet.

02:44 Dieses nennen wir ein bestimmtes Integral.

02:49 Ein bestimmtes Integral hat Integrationsgrenzen und ein unbestimmtes Integral ist einfach eine allgemeine Integralfunktion.

02:56 Wenn ich mit einem bestimmten Integral rechne und meinen Ausdruck F(x) für die Fläche habe, können wir darum Klammern setzen.

03:06 Diese zeigen, dass die Werte a und b in die Funktion eingesetzt werden müssen.

03:10 Wenn Sie b in diese Funktion einsetzen, bestimmen Sie die gesamte Fläche vor b.

03:18 Wollen Sie jedoch nur die Fläche zwischen a und b berechnen, müssen Sie den Bereich von Null bis a subtrahieren.

03:28 Von F von b wird also F von a abgezogen, um die Fläche zwischen den Integrationsgrenzen, in unserem Fall diese schwarz schattierte Fläche, zu finden.

03:43 Das sind die Grundlagen der Integration und die dazugehörige Schreibweise.

03:45 Das Zeichen für Integral ist dieses kleine geschwungene Zeichen.

03:49 Die Funktion steht in der Mitte.

03:52 Das dx bedeutet, das wir nach x integrieren.

03:54 Sie könnten stattdessen auch nach y oder anderen Variablen integrieren, so wie wir es bei der Differentialrechnung getan haben.

03:59 Am Ende erhalten wir einen allgemeinen Ausdruck für unsere Fläche.

04:05 Um diesen Ausdruck zu präzisieren, müssen wir die Werte der Integrationsgrenzen in A und B ersetzen.

04:11 Erinnern Sie sich: Als wir die Differentialrechnung durchgeführt haben, haben wir eine allgemeine Ableitung gefunden.

04:14 Um genauere Steigungen zu finden, mussten wir x-Werte einsetzen.

04:17 Hier ist das sehr ähnlich.

04:22 Die nächste Frage, die Sie sich vielleicht stellen ist: "Wie integrieren wir eigentlich?" Wir kennen den Hintergrund der Integration. Aber wie wenden wir die Mathematik an, um tatsächlich zu integrieren? Ich zeige Ihnen das hier.

04:33 Stellen Sie sich vor, wir integrieren eine sehr einfache Funktion.

04:39 Zum Beispiel x hoch n dx.

04:45 Ich setze hier noch keine Grenzen fest.

04:46 Wir berechnen zunächst nur das unbestimmte Integral.

04:49 Ich werde Ihnen das beibringen indem ich mit der Ableitung arbeite, denn die Integration ist das Gegenteil der Differentialrechnung.

04:54 Wir werden die Methode lernen, indem wir uns die Methode der Ableitung ansehen.

04:59 Erinnern Sie sich an die Ableitung von x hoch n.

05:04 Wir haben mit dem Exponenten multipliziert und den Exponenten anschließend um 1 verringert.

05:08 Mit der Integration wird versucht, das wieder auszugleichen.

05:10 Alles, was wir beim Ableiten gemacht haben, wird wieder rückgängig gemacht.

05:13 Wir versuchen, der Multiplikation mit dem Exponenten n und der Subtraktion um 1 entgegenzuwirken.

05:20 Bei der Integration beginnen wir mit dem Exponenten.

05:23 Daraus wird x hoch n plus 1.

05:27 Man addiert also 1 zur Potenz.

05:29 Um dieses n kürzen zu können, teilen Sie den Term durch n plus 1.

05:37 Die Integration besteht demnach aus zwei Schritten: Addieren Sie eine 1 zur Potenz, dividieren Sie durch die neue Potenz.

05:43 Um abzuleiten haben Sie mit dem Exponenten multipliziert und 1 von der Potenz abgezogen.

05:48 Diesmal addieren Sie 1 zur Potenz und dividieren durch den neuen Exponenten.

05:54 Eine Kleinigkeit müssen Sie bei der Integration allerdings beachten. An das Ende müssen Sie immer eine Konstante anfügen, ein Plus C.

06:02 Wir haben viele Funktionen abgeleitet, die eine Konstante enthielten.

06:07 Sie könnten hier am Ende eine 5 oder ein Plus C haben. Leitet man diese Funktion dann ab, verschwindet die 5 oder das C.

06:14 Vergessen Sie das nicht.

06:15 Unabhängig davon ob die Konstante plus 7 oder plus 10 abgeleitet wurde, sie verschwand einfach und wurde zu einer 0.

06:20 Das gleichen wir jetzt wieder aus.

06:22 Diesmal addieren wir eine Konstante. Da bei der Ableitung eine Zahl verschwand, fügen wir nun eine Konstante hinzu.

06:34 So integrieren Sie ein unbestimmtes Integral.

06:39 Jetzt kann ich meine Integrationsgrenze einsetzen. Zum Beispiel b und a in die Funktion x von n dx. Man geht genauso vor. Man addiert 1 zur Potenz und teilt durch den neuen Exponenten.

06:52 Am Ende fügen Sie ein plus C an.

06:54 Und dann setzen Sie die Zahlen a und b in den Term ein.

06:59 Wir wir bereits besprochen haben, fangen wir mit der größeren Zahl an. In unserem Fall b.

07:02 Anschließend folgt das kleinere a.

07:05 Das wird subtrahiert, sodass Sie eine Antwort in Form einer Zahl erhalten.

07:10 Auf dieser einen Folie sehen Sie nun sehr viel Integration.

07:13 Wir haben nahezu alle grundlegenden Integrationsmethoden besprochen und zusammengefasst.

07:17 Um diese Methoden zu festigen, müssen wir jetzt mit Übungen anfangen.

07:23 Werfen wir also einen Blick auf einige numerische Beispiele.