Integration Method: Example 1

00:01 Wir haben nun eine Differentialgleichung.

00:04 dy geteilt durch dx ist gleich einem bestimmtem Ausdruck.

00:08 Wir sollen jetzt y finden.

00:10 Es stellt sich die Frage, woher dieses dy durch dx kommt.

00:15 Aus welcher Gleichung ist dieser Ausdruck entstanden? Das ist im Grunde das, was wir mit der Integration betrachten.

00:21 Schauen wir uns also unser Beispiel an.

00:25 Gegeben ist dy durch dx ist gleich x zum Quadrat plus 3x minus 1.

00:33 Wir wollen die ursprüngliche Funktion ermitteln, aus der diese Funktion abgeleitet wurde.

00:39 Dafür können wir einfach die Integrationsmethode anwenden.

00:45 Sie werden sehen, dass wir auf diese Weise unsere Stammfunktion erhalten.

00:48 Ich kann das Integral umschreiben.

00:50 y ist gleich x zum Quadrat plus 3x minus eins.

00:55 Das Einfügen des Integralzeichens zeigt, dass ich das Integral der Funktion bilden möchte.

01:01 Dann kann ich die Integration anwenden.

01:04 Dahinter setze ich ein dx.

01:05 Sie müssen sich über das dx keine weiteren Gedanken machen, da es keine direkte Funktion hat, sondern nur festlegt, dass wir nach der Variable x integrieren.

01:14 Erinnern Sie sich an die Definition, die die wir zuvor durchgesprochen haben.

01:18 Haben Sie x hoch n dx, addieren Sie 1 zur Potenz und dividieren den Term durch die neue Potenz.

01:25 Für ein unbestimmtes Integral fügen Sie am Ende noch ein Plus C hinzu.

01:29 Das machen wir jetzt mit jedem einzelnen Term.

01:32 Betrachten Sie Ihr x zum Quadrat.

01:34 Um x zum Quadrat zu integrieren, addieren wir 1 zur Potenz und dividieren durch die neue Potenz.

01:41 Daraus ergibt sich x hoch 3 geteilt durch 3, denn 2 plus 1 ist 3.

01:46 So einfach haben wir x zum Quadrat integriert.

01:49 Nun zum nächsten Term. Addieren Sie 1 zur Potenz.

01:52 Denken Sie dabei daran, dass hier eigentlich eine 1 im Exponenten steht.

01:54 Daraus folgt 3x hoch 2, dividiert durch 2.

01:59 Abschließend haben wir noch die Konstante minus 1.

02:03 Bei der Ableitung sind Konstanten einfach verschwunden.

02:06 Lassen Sie mich das hier einmal zeigen.

02:08 Der Term 1 entspricht 1x hoch 0.

02:13 Um daraus das Integral zu bilden, addieren wir im Exponenten 1.

02:18 0 plus 1. Daraus folgt x hoch 1 geteilt durch 1.

02:23 Diesmal verschwindet die 1 also nicht.

02:26 1 oder jede andere Konstante wird einfach zu x integriert.

02:31 Minus 1 wird also zu minus x integriert.

02:34 Vergessen Sie nicht, dass Sie bei unbestimmten Integralen immer ein Plus C am Ende hinzufügen.

02:41 Unsere y-Funktion war somit x hoch 3, plus 3x zum Quadrat dividiert durch 2, minus x plus C.

02:54 In diesem Fall können wir unser C noch nicht finden.

02:58 Um C zu finden, brauchen wir nämlich einige Werte.

03:02 Wir müssen dazu wissen, welcher x-Wert zu einem bestimmten y-Wert gehört hat.

03:07 Aber lassen wir uns davon nicht beirren.

03:09 Wir lassen es einfach so stehen.

03:10 Das ist unsere Funktion und C ist eine Konstante, eine beliebige Zahl.

03:15 Ich kann Ihnen beweisen, dass das richtig ist, indem ich es wieder ableite.

03:19 Da wir uns mit der Ableitung von Funktion Mittlerweile gut auskennen, können wir das Integral mittels der Ableitung überprüfen.

03:23 Dann sollten wir diese Funktion hier erhalten.

03:29 Das sollte Sie hoffentlich davon überzeugen, dass die Integration das Gegenteil der Differentialrechnung ist.

03:35 Also probieren wir es einfach aus, auch wenn die Lösung bereits hier steht. Wir schauen uns das trotzdem einmal an.

03:40 Wir haben dy geteilt durch dx.

03:44 Erinnern Sie sich an das, was wir zur Ableitung besprochen haben.

03:46 Multiplizieren Sie mit dem Exponenten und verringern Sie die Potenz um eins.

03:49 Daraus ergibt sich 3x zum Quadrat. Die 3 steht immer noch unter dem Bruchstrich.

03:55 Holen Sie erneut die Potenz nach unten Und verringern Sie den Exponenten um 1.

03:57 Daraus folgt 6x hoch 1, geteilt durch 2.

04:01 Die 2 bleibt dort stehen.

04:02 Hier haben wir x hoch 1.

04:04 Übrig bleibt nur eine 1. Das C oder die dahinterstehende Konstante wird einfach zu Null. Wenn wir das vereinfachen, können wir die 3er streichen.

04:17 Wir können das mit dem hier verrechnen und erhalten 3.

04:19 Das Ergebnis ist x zum Quadrat plus 3x hoch 1 minus 1.

04:25 Schauen Sie sich das Ergebnis genau an. Wir kennen es bereits, denn es entspricht dieser Funktion hier.

04:31 Die Integration und die Differentialrechnung stehen also wirklich in einem engen Verhältnis zueinander.

04:36 Beides sind Teile der Infinitesimalrechnung und stellen die jeweilige Umkehrung dar. Haben Sie etwas abgeleitet, können Sie zu Ihrer ursprünglichen Funktion zurückkehren indem Sie integrieren.

04:46 Haben Sie eine Funktion integriert, können Sie die Stammfunktion zur Prüfung wieder ableiten.