Derivative of eˣ and ln(x)

00:01 Ihre Köpfe müssen mittlerweile voll von Infinitesimalrechnung sein.

00:04 Sie wissen schon sehr viel. Wir haben besprochen, wie man die Definition der ersten Ableitung anwendet.

00:09 Wir haben uns eine einfachere Methode zur Ableitung angeschaut. Wir haben uns mit drei verschiedenen Methoden der Differentialrechnung und entsprechenden Funktionen befasst und sind dann zur Ableitung von trigonometrischen Gleichungen übergegangen.

00:20 Im nächsten Abschnitt befassen wir uns mit der Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen. Zunächst werden wir die Vorgehensweise und einige Grundregeln besprechen und dann auf verschiedene Funktionen anwenden. Wir werden zusätzlich einige Logarithmusregeln herleiten.

00:37 Es gibt drei wirklich wichtige Regeln für Logarithmen, mit denen wir uns auseinandersetzen.

00:40 All dies ist von Bedeutung, um beispielsweise die pH-Skala in der Medizin zu verstehen, also wie sauer oder basisch etwas ist. Sind Sie in der Lage, mit Logarithmen umzugehen, können Sie viel sicherer Berechnungen auf der pH-Skala durchführen. Lasst uns beginnen.

00:57 Als erstes muss definiert werden, was e hoch x und was der Logarithmus von x, für den wir in diesem Fall ln von x verwenden, sind. Dann können wir deren Ableitungen zu berechnen.

01:11 Die einfachste Exponentialfunktion ist e von x. Das ist leicht zu merken. Das Gute daran ist, dass die Ableitung von e hoch x einfach e hoch x ist.

01:22 Wenn wir also die Steigungskurve von e hoch x skizzieren würden, würde diese genau so aussehen, wie die ursprüngliche Funktion e hoch x. Das macht uns das Leben leichter.

01:30 e hoch x wird also zu e hoch x abgeleitet. Jetzt betrachten wir einen speziellen Logarithmus namens ln von x.

01:37 Das ist im Grunde der Logarithmus zur Basis e, den wir zu ln abkürzen. ln von x wird zu 1/x abgeleitet.

01:51 Dies wird sich später ergeben, wenn wir die Integration durchführen.

01:56 Jetzt werden wir gleich zu einigen Berechnungen übergehen und ich werde Ihnen drei wichtige Regeln für Logarithmen vorstellen, die Sie vielleicht auch schon kennen.

02:04 Damit Sie sie besser verstehen können, werden wir diese herleiten.

02:08 Wie ich schon sagte, sind sie extrem hilfreich für die Anwendung und Berechnung von pH-Skalen.

02:15 Verwenden wir nun also die Regeln, die wir uns gerade angesehen haben, in einem ersten Beispiel.

02:21 Wir haben die Funktion y gleich 5e hoch x plus 7. Dabei handelt es sich um eine ziemlich einfache Funktion.

02:32 Wir müssen nur jeden Term einzeln ableiten.

02:36 Wenn ich also dy/dx berechne, dann ist die 5 nur eine Konstante, die sich nicht verändert.

02:43 Nun müssen wir e hoch x ableiten. Wie wir wissen, bleibt e hoch x abgeleitet e hoch x.

02:50 Auch hier ändert sich nichts. Die plus 7 ist lediglich eine Konstante, die verschwindet.

02:56 Die Ableitung von 5e hoch x plus 7 ist somit 5e hoch x.

03:02 Steigern wir den Schwierigkeitsgrad und betrachten wir unser zweites Beispiel.

03:08 Wir haben diesmal y gleich 7e hoch 5x minus 1, plus 3x.

03:14 Wie Sie sehen, unterscheidet sich dies ein wenig von der vorherigen FUnktion, denn bei der vorherigen Funktion musste nur e hoch x abgeleitet werden und wir wissen, dass e hoch x zu e hoch x abgeleitet wird.

03:26 In diesem Fall handelt es sich jedoch um den komplexeren Term e hoch 5x minus 1.

03:32 Was genau ist das bei näherer Betrachtung? Sie haben e, nicht hoch x, sondern hoch einem anderen Ausdruck.

03:40 Im Exponent steht demnach eine weitere Funktion. Denken Sie einen Moment darüber nach und hoffentlich werden Sie feststellen, dass dies eine Funktion einer Funktion ist.

03:48 Sie haben zum einen eine äußere Exponentialfunktion und zudem eine innere Funktion 5x minus 1.

03:54 Daher müssen wir erneut die Kettenregel anwenden.

03:57 Lassen Sie uns das ausprobieren und sehen, ob wir es gemeinsam schaffen.

04:00 7 ist nur eine Konstante, die uns nicht stört und unverändert stehen bleiben kann.

04:05 Hier an der Seite zeige ich Ihnen Folgendes: Wir haben 5x minus 1.

04:09 Die äußere Funktion ist die e-Funktion e hoch etwas.

04:14 Zur Erinnerung: Verwenden wir die Kettenregel, leiten wir zuerst die äußere Funktion ab und multiplizieren diese mit der Ableitung der inneren Funktion.

04:23 Aber das Gute oder vielleicht auch Ungewöhnliche an diesem Beispiel ist, dass sich die äußere Funktion bei der Ableitung nicht ändert, da wir e hoch einem zusammengehörigen Ausdruck ableiten.

04:32 Wird 5x minus 1 als zusammengehöriger Term betrachtet, dann verändert sich die äußere Funktion e hoch 5x minus 1 bei der Ableitung nicht. Die Ableitung ist e hoch 5x minus 1. Vergessen Sie anschließend nicht, dass wir diesen Term mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren müssen.

04:49 Das ist unsere innere Funktion.

04:51 Die Ableitung von 5x minus 1 ist 5. Daraus ergibt sich 5e hoch 5x minus 1.

04:59 5e hoch 5x minus 1 ist also die Ableitung von e hoch 5x minus 1.

05:09 Außerdem haben wir noch die 3x. In der Ableitung sind wir mittlerweile Experten. Die Ableitung von 3x ist 3.

05:15 7 mal 5 ergibt 35. Zusammengefasst heißt das: Die Ableitung von 7e hoch 5x minus 1, plus 3x ist also 35e hoch 5x minus 1, plus 3x.