Coulomb's Law: Example

00:01 Hier sehen wir ein Beispiel dafür, wie wir diese Kräfte addieren würden.

00:04 Wie wir die Überlagerung bei einem Beispiel wie diesem verwenden würden.

00:07 Nehmen wir an, wir haben ein Elektron, das sich in gleichem Abstand von 2 Protonen befindet, d.h. der Abstand zwischen ihnen derselbe und ein Mikrometer entfernt ist, d. h. 1 Mikrometer von ihrem Mittelpunkt.

00:18 Die Frage ist, ob die beiden Protonen selbst 2 Mikrometer voneinander entfernt sind, Wie groß ist die Kraft, die auf das Elektron wirkt, und in welche Richtung wirkt sie? Sie können versuchen das Coulombsche Gesetz anzuwenden, wie wir sie bereits eingeführt haben, aber auch unter Berücksichtigung, dass es sich um vektorielle Größen handelt, die eine Richtung haben, zu versuchen, dieses Problem zu lösen, und es wäre sehr lehrreich, es zu versuchen und zu sehen, was Sie herausfinden und ob Sie dieselbe Antwort erhalten, die wir hier bekommen werden.

00:44 Hoffentlich sah das, was Sie gemacht haben, in etwa so aus. Wir haben diese 2 Protonen.

00:50 Es ist sehr wichtig, dass die Geometrie richtig ist, was schwierig sein kann.

00:54 und wir haben einen Abstand zwischen ihnen, den wir mit 2 Mikron oder 2 Mikrometern angegeben haben.

01:00 Wir haben hier auch ein Elektron, das wiederum viel kleiner ist, die, wie gesagt, gleich weit von den 2 Protonen entfernt ist, also haben wir einen Abstand zwischen diesen 2, die gleich sind und von denen wir auch gesagt haben, dass sie einen bestimmten Abstand zu ihrem Mittelpunkt haben.

01:14 Dieser Abstand hier ist 1 Mikrometer, während der vertikale Abstand zwischen den 2 Protonen 2 Mikrometer beträgt.

01:22 Bei diesem Elektron ist es wichtig zu wissen, dass wir es manchmal so symbolisieren, e mit einem Minuszeichen, um zu verdeutlichen, dass es sich um ein Elektron handelt und dann haben wir diese 2 positiven Kräfte von jedem Proton.

01:35 Lassen Sie uns also über die Vektoren nachdenken, die hier im Spiel sind, und über die Richtung.

01:41 Es wirkt also eine Kraft auf das Elektron, die auf das obere Proton wirkt.

01:46 Wir haben also eine Kraft oben rechts, von der wir die Abmessungen dieses Dreiecks kennen, wir wissen, dass dies ein Abstand von 1 Mikron ist und wir wissen auch, dass dies ein Abstand von 1 Mikron ist.

01:57 Es ist 1, weil wir wissen, dass die gesamte Strecke 2 ist und wir nur über die Hälfte dieser Strecke sprechen.

02:02 In ähnlicher Weise erfährt unser Elektron auch eine Kraft nach rechts unten und wieder wissen wir, dass die Abmessungen dieses Dreiecks genau gleich sind.

02:12 Die Frage ist also: Können wir mit diesen 2 Vektoren die Kräfte aufschreiben? Wir werden sagen, dass dies vielleicht die Kraft aus dem 1.

02:21 und vielleicht ist dies die Kraft des 2. Protonen.

02:23 Wir könnten sie also beschriften, vielleicht diesen einen als 1 und diesen als 2 bezeichnen und dann können wir aufschreiben, was diese Kräfte sind.

02:29 Die Summe der 2 Kräfte, wobei wir auch hier darauf achten müssen, dass wir diese 2 Kräfte auch als Vektoren behandeln.

02:36 Wenn wir also sicher sein wollen, dass wir das richtig hinzufügen was wir tun sollten, ist, weiterzumachen und herauszufinden, was diese Komponenten der Vektoren sind und schreiben Sie die Vektoren sehr deutlich auf.

02:43 Nehmen wir also an, dass wir für jedes dieser Elemente einen bestimmten Winkel, Theta, haben.

02:47 Dies ist also nur eine Möglichkeit, dies in direkter Analogie zu den Dingen zu tun, die wir in der Vergangenheit getan haben da wir hier ein Dreieck haben.

02:54 Der Grund dafür, dass wir dies tun und es so schreiben können ist, weil wir es bereits wissen, und lassen wir diese für einen Moment beiseite, dass die horizontale Komponente einer Kraft, wenn wir hier einen Winkel Theta haben die Kraft mal dem Kosinus dieses Winkels ist, während die vertikale Komponente der Kraft mal dem Sinus dieses Winkels entspricht, und das Gleiche für den unteren Teil gilt.

03:14 Wir haben Kraft 2 mal den Kosinus von Theta und dann haben wir Kraft 1 mal den Sinus von Theta, aber jetzt müssen wir aufpassen, wo wir hinfahren.

03:23 In diesen beiden Fällen wirken die horizontalen Kräfte nach rechts, während eines der Protonen versucht, das Elektron nach oben zu ziehen und der andere versucht, ihn herunterzuziehen.

03:32 Wir müssen also auch bei diesen Zeichen vorsichtig sein.

03:36 Lassen Sie uns also aufschreiben, was diese Vektoren sind.

03:37 Die erste Kraft ist also ein Vektor. Wir können die x- und y-Komponenten schreiben Führen wir also ein Koordinatensystem ein, ich lege es hierhin.

03:44 Wir haben vielleicht die positive x-Richtung und die positive y-Richtung.

03:49 In diesem Fall würde die Kraft des ersten Protons also in die Horizontale, die x-Richtung, wirken, F1 mal dem Kosinus von Theta und in vertikaler Richtung, F1 mal dem Sinus von Theta, und beide sind nach unserer Konvention positiv, durch unser Koordinatensystem. F2 hingegen ist etwas anders.

04:07 Sie hat die gleiche x-Komponente, F mal den Kosinus von Theta, aber sie hat die y-Komponente.

04:14 Dieser Typ zeigt nach unten in die negative Richtung.

04:17 Wir haben also minus F2 mal den Sinus von Theta.

04:20 Die Gesamtkraft, die sich aus der Summe dieser 2 Kräfte ergibt, ist also Das F-fache des Kosinus von Theta, mal, oder besser gesagt, das F-fache des Kosinus von Theta.

04:34 Die x-Komponente ist also 2 mal die Kraft mal den Kosinus von Theta.

04:38 Die y-Komponente wird genau das Gegenteil sein.

04:41 Eine davon ist positiv und eine negativ Daher müssen wir diese Größenordnungen jetzt vergleichen, denn wie Sie sehen, habe ich bereits angenommen, dass diese Kräfte gleich sind und der Grund, warum ich das getan habe, ist, dass es egal ist, wie weit die Entfernung ist, es ist die gleiche Entfernung wie diese und auch die Ladungen sind die gleichen, dieser ist negativ und beide haben den gleichen positiven Wert.

04:58 Die Kraft, diese Kraft F1 und diese Kraft F2 sind also gleich Wir stellen also fest, dass hier F1 gleich F2 sein muss.

05:07 Das werden wir im weiteren Verlauf verwenden. Die Gesamtkraft in x-Richtung ist also das Doppelte dieser Kraft, F1 oder F2, mal den Kosinus von Theta, wobei die Differenz zwischen diesen beiden Werten 0 ist da sie gleich sind, aber eines ein Minuszeichen hat.

05:21 Das ist also unsere Gesamtkraft als Vektor, die dieses Elektron erfährt.

05:27 Eine Möglichkeit, dies zu schreiben, ist auch, einfach die x-Komponente dieser Kraft zu schreiben und sagen, die x-Komponente sei das Doppelte der Gesamtkraft mal dem Kosinus des Winkels zwischen diesen beiden.

05:39 Das letzte, was wir jetzt tun müssen, ist herauszufinden, was dieses F ist. Wie groß ist die Kraft? Jetzt können wir also das Coulombsche Gesetz anwenden.

05:45 Wir wissen, dass die Kraft gleich k mal dem Produkt der beiden Ladungen q1 und q2 ist, geteilt durch den Abstand zwischen diesen beiden Ladungen zum Quadrat und so durch das Schreiben dieser Kraft, was wir haben.

06:02 Ich schreibe es hier hin, damit wir ein bisschen mehr Platz haben.

06:04 Wir haben 2 mal k mal das Produkt der beiden Ladungen geteilt durch den Abstand zwischen ihnen zum Quadrat.

06:12 Wir haben schließlich den Kosinus von Theta und was ich hier tun werde, ist, dass wir jetzt die Kraft ausgeschrieben haben aber wir kennen die Richtung bereits.

06:22 Wir wissen bereits, dass die Richtung in die positive Richtung nach rechts geht.

06:26 Dies ist die Richtung der Nettokraft, die auf diese Objekte wirkt.

06:29 Da wir bereits wissen, wie die Richtung aussehen wird, berechnen wir einfach den Betrag der Kraft in x-Richtung und machen uns keine Gedanken darüber, woher die Zeichen kommen.

06:37 Der Grund, warum ich das tue, ist, dass wir uns nicht verwirren wollen, indem du die beiden elektrischen Ladungen hier einfügst und dann siehst, dass vielleicht Minuszeichen auftauchen und nicht sicher zu sein, in welche Richtung die Kraft wirkt weil wir bereits wissen, in welche Richtung die Kraft wirkt.

06:49 Sagen wir einfach, wir kennen die Richtung.

06:53 Jetzt müssen wir nur noch berechnen, wie hoch diese Menge ist.

06:58 Vereinfachen wir es ein wenig und sagen, dass dies gleich 2 mal k ist.

07:06 Diese Ladungen, q1 und q2, wir wissen, dass q1 die Ladung eines Elektrons ist, die minus e ist, wir wissen, dass die Ladung q2 die Ladung eines Protons ist was plus e ist. Multipliziert man also diese beiden q's miteinander, erhält man e zum Quadrat.

07:23 Der Grund, warum ich das Minuszeichen hier nicht einfüge ist, dass wir wieder die Größe dieses Ausdrucks nehmen denn wir wissen bereits, in welche Richtung es gehen soll.

07:30 Jetzt müssen wir nur noch durch den Abstand zwischen diesen beiden Quadraten dividieren, Das ist also unser r in dieser Gleichung, in diesem Szenario eher.

07:38 Wir wissen, was r ist, weil wir ein Dreieck haben, ganz einfach noch einmal, wir sehen es genau hier.

07:43 Wenn dies das Elektron ist und wir hier oben ein Proton haben, haben wir ein Dreieck mit 1 Mikrometer und 1 Mikrometer in jedem dieser Fälle.

07:50 Diese Diagonale können wir also sehr schnell durch den Satz des Pythagoras finden c zum Quadrat ist a zum Quadrat plus b zum Quadrat und damit die Quadratwurzel aus 2 Mikrometern.

08:00 Wir müssen hier mit unseren Einheiten vorsichtig sein, weil wir alles in SI-Einheiten schreiben werden.

08:05 Die Quadratwurzel aus 2 Mikrometern ist also dasselbe wie 1 mal 10 bis minus 6 Meter.

08:11 Dies ist also der Abstand zwischen diesen beiden, die Quadratwurzel aus 2. Entschuldigung, dies ist die Quadratwurzel aus 2.

08:19 Mal 10 das Minus 6. Seien wir vorsichtig mit unseren Werten hier, Quadratwurzel aus 2.

08:23 Mal 10 bis minus 6. Und diese Menge wird quadriert.

08:31 Schließlich haben wir noch den Kosinus von Theta, und das ist unser gesamter Ausdruck.

08:37 Geben wir also ein paar Zahlen ein. Wir haben, dass die...

08:42 Ich werde diese Zahlen hier katalogisieren, nur damit wir uns nicht selbst im Weg stehen.

08:45 Wir wussten bereits, dass dieses e 1,6 mal 10 zu minus 19 Coulomb beträgt.

08:52 Wir wissen, was diese elektrische Konstante k Null ist.

08:57 Dies ist 9 mal 10 zum 9. Newtonmeter zum Quadrat pro Coulomb zum Quadrat und wir kennen auch die Entfernung, die wir gerade hier oben gefunden haben.

09:10 R ist die Quadratwurzel aus 2 mal 10 hoch minus 6 Meter.

09:15 Wir werden also unsere Werte hier irgendwie getrennt halten.

09:18 Als Letztes brauchen wir noch den Kosinus von Theta.

09:21 Also, was ist das? Das ist unser Dreieck mit dem Winkel Theta hier unten.

09:26 Den Kosinus dieses Winkels kann man sich auf zwei Arten vorstellen.

09:29 Erstens muss man erkennen, dass die Schenkel dieses rechtwinkligen Dreiecks beide gleich groß sind.

09:33 Dieser Winkel muss also ein 45-Grad-Winkel sein, und wir wissen, dass der den Kosinus eines 45-Grad-Winkels 1 über der Quadratwurzel aus 2 oder die Quadratwurzel aus 2 über 2 ist.

09:42 Die andere Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, zu wissen, dass der Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gleich der Länge der angrenzenden Seite geteilt durch die Länge der Hypotenuse ist.

09:52 In diesem Fall würden wir auch 1 geteilt durch die Quadratwurzel aus 2 erhalten, was mathematisch gleichbedeutend mit der Quadratwurzel aus 2 über 2 ist.

10:00 Wie auch immer man es macht, hier ist der Wert für den Kosinus von Theta und jetzt sind wir bereit, all diese Zahlen einzugeben.

10:07 Daraus ergibt sich der Betrag der Kraft nur in x-Richtung, da wir wissen, dass die y-Richtung null ist, ist gleich, um hier ein wenig zu vereinfachen: 9 mal 10 hoch 9, Behalten wir all unsere Einheiten nur einen Moment, damit wir sicher sind, dass wir das richtig verstehen, mal die Ladung 1,6 mal 10 hoch minus 19 Coulomb zum Quadrat und dann übrig geblieben, wenn wir mit all unseren Stornierungen vorsichtig waren.

10:36 Wir haben die Quadratwurzel aus 2 über dem Abstand im Quadrat, Quadratwurzel aus 2 mal 10 zum Quadrat minus 6.

10:44 Sie werden feststellen, dass eine Sache anders ist, nämlich der Faktor 2 im Vorfeld.

10:49 Der Grund dafür, dass das nicht mehr der Fall ist, ist unser Kosinusterm.

10:52 Anstatt die Quadratwurzel aus 2 über 2 zu schreiben, was gleich dem Kosinus ist, Habe ich die 2 des Nenners durch die 2 des Zählers ersetzt.

10:59 Dies sollte also der Gesamtausdruck sein, den Sie erhalten.

11:02 Um dies zu vereinfachen, müssen wir zunächst sicherstellen, dass unsere Einheiten funktionieren.

11:07 Wir haben hier Coulombs im Quadrat nach unten und Coulombs im Quadrat nach oben, das ist großartig.

11:10 Unsere Entfernung hier unten ist immer noch in Metern.

11:13 Wir haben also hier unten einen Quadratmeter und hier oben einen Quadratmeter, das ist auch gut.

11:17 Damit bleiben uns die Newton-Einheiten, die eine Einheit der Kraft sind Das sorgt dafür, dass das alles gut funktioniert.

11:22 Was wir noch einmal tun werden, um es ganz einfach zu machen, besteht darin, alle unsere Zahlen ohne ihre Exponenten nach links zu sammeln, 9 mal 1,6 zum Quadrat mal die Zahl Quadratwurzel aus 2 von hier oben und die Quadratwurzel aus 2 zum Quadrat, was 2 von hier unten ist und dann werden wir alle unsere Exponenten nach rechts setzen.

11:51 Wir haben also eine 10 hoch 9, wir haben eine 10 hoch minus 19 mal 2, was 38 ergibt, wir haben eine 10 hoch 12, der Grund dafür ist die positive 12.

12:05 Wenn wir diese 6 mit 2 multiplizieren, ergibt sich aus dem negativen Vorzeichen ein Minus von 12.

12:11 und verschieben es dann in den Zähler, wodurch es eine positive 12 wird.

12:14 Jetzt haben wir also diese beiden Begriffe.

12:16 Wir haben unsere Zahlen, unsere Konstanten, und wir haben hier auch unsere eigentlichen Exponenten.

12:20 Wenn Sie diese Punkte kombinieren, erhalten Sie hoffentlich eine Antwort, die meiner ähnelt, was ungefähr dem Wert 16,3 entspricht.

12:28 Unsere Exponenten hier mal 10 hoch 9, minus 38 plus 12 ist gleich minus 17 und das ist in Newton.

12:41 Dies ist also ein sehr kleiner Wert für die Kraft, die eine kleine Ladung erfährt zu einer anderen kleinen Ladung gezogen werden.

12:51 Wir haben hier zwei Ladungen, und so hatten wir einen Faktor 2 vorne, die wir beim Multiplizieren verwendet haben, und wir haben gesehen, dass die vertikalen Komponenten dieser Kräfte sich aufheben, während die horizontalen Komponenten dieser beiden Kräfte sich addieren um uns die doppelte Kraft zu geben, die es normalerweise erfahren würde von einem dieser Protonen in horizontaler Richtung und das ist eine sehr häufige Sache, also achten Sie oft bei diesen Vektorgrößen, wie wir gesehen haben, einige Kräfte werden sich aufheben und andere werden sich konstruktiv addieren.