Visualizing Kinematics

00:01 In diesen 3 Diagrammen hier haben wir also eine Position, eine Geschwindigkeit und eine Beschleunigung.

00:06 In jedem dieser Fälle ist die x-Achse immer noch unsere Zeit, wir verfolgen also immer noch, was ein Objekt tut.

00:11 Diese 3 Diagramme verwenden wir, um darzustellen, was unser Apfel im Laufe der Zeit tut, wenn ich ihn fallen gelassen habe.

00:18 Schauen wir uns also zunächst einen einfachen Fall an. Ich habe zum Beispiel einfach ein Objekt, das dort ist, wie wir gesehen haben.

00:24 Es befindet sich einfach an einer bestimmten Position, sagen wir an der 1-Meter-Marke, und wenn ich seine Position aufzeichne, geht die Zeit weiter.

00:29 Es wäre nur eine horizontale gerade Linie, weil es sich nirgendwo hin bewegt.

00:32 Seine Position wird sich also nicht ändern. Die Geschwindigkeit dieses Objekts ist erwartungsgemäß gleich Null.

00:37 Es ist vielleicht schwer zu erkennen, aber Sie können sehen, dass wir tatsächlich eine horizontale Linie direkt auf der Nullachse dieses Geschwindigkeitsdiagramms gezeichnet haben, da sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert und die Geschwindigkeit war zu Beginn einfach null, weil unser Objekt einfach still steht.

00:49 Auch hier handelt es sich also um eine sehr einfache Situation, in der die Beschleunigung ebenfalls gleich Null wäre, denn wir geben unserem Objekt keine Dynamik oder irgendetwas Aufregendes zu tun.

00:58 Lassen Sie uns jetzt etwas anderes tun, lassen Sie es sich bewegen. Nehmen wir also an, dass sich dieses Objekt jetzt bewegt.

01:03 Konzentrieren Sie sich zunächst auf das Positionsdiagramm. Im Laufe der Zeit bewegt sich unser Objekt zu immer größeren Positionen.

01:09 Es geht also mehr und mehr vorwärts in der Position.

01:12 Das bedeutet, dass seine Geschwindigkeit nicht null ist, sondern positiv, aber diese positive Geschwindigkeit ist ist keine veränderliche Geschwindigkeit, sodass unser Objekt eine konstante, positive, kleine Geschwindigkeit hat, was ihm immer mehr Strecke in unserem Positionsdiagramm verschafft.

01:28 Es ist also sehr wichtig zu beachten, dass unsere Geschwindigkeitskurve nicht Null ist, sondern sich nicht ändert.

01:33 Es hat eine konstante positive Geschwindigkeit. Aber die Beschleunigung, die die Änderungen der Geschwindigkeit unseres Objekts misst, ist immer noch Null. Es gewinnt einfach nicht an Geschwindigkeit, während es sich bewegt.

01:45 Wir tun noch etwas anderes, nämlich unserem Objekt eine tatsächliche Beschleunigung geben, die hier die Beschleunigung von der Nullachse aufnehmen würde.

01:54 Aber zuerst wollen wir uns ansehen, wie wir die Geschwindigkeit messen können, wenn sich unser Objekt mit einer konstanten einfachen Geschwindigkeit bewegt.

01:59 In unserem Positionsdiagramm können Sie sehen, dass, wenn ich eine Entfernung von Null bis zu einem bestimmten Punkt messe, dies meine Verlagerung wäre, da sie bei Null begann und sich dann zu einer neuen Position bewegte.

02:09 Und so sehen wir, dass Delta x eine Änderung der Position darstellt, eine Veränderung des Standorts oder eine Verlagerung. Die Zeit, die benötigt wurde, um diese Verlagerung zu erreichen, nennen wir delta t, also so lange, wie lange es gedauert hat, um dorthin zu gelangen, wo es jetzt ist. Wir haben also unser Delta x, also auch unsere Verlagerung.

02:25 Wir haben auch unser Delta t, unsere Zeitveränderung, und wir wissen, dass wir die Geschwindigkeit berechnen können als Delta x durch delta t für die Durchschnittsgeschwindigkeit, sodass wir eigentlich nicht nur wissen könnten, dass dieses Objekt eine positive Geschwindigkeit hat, wie wir in unserem Geschwindigkeitsdiagramm sehen, sondern wir können messen, wie hoch die Geschwindigkeit und wo die blaue Linie in unserem Geschwindigkeitsdiagramm sein sollte.

02:44 Mit unserem Geschwindigkeitsdiagramm würden wir also feststellen, dass wir einfach die Verlagerung Delta x aus unserem Positionsdiagramm und dividiert durch die Zeit, Delta t berechnen können.

02:50 Ein Beispiel, um es ein wenig konkreter zu machen: Nehmen wir an, dass das Delta x, das Sie in unserem Diagramm sehen, tatsächlich 4 Meter beträgt, nehmen wir an, ein Objekt bewegt sich 4 Meter, und nehmen wir an, es braucht dazu 2 Sekunden, dann könnten wir unsere Gleichung für die Geschwindigkeit nehmen, die die Verlagerung über die Zeit ist, die es brauchte, um sich so weit zu bewegen und dann dividieren wir einfach und sehen, dass 4 geteilt durch 2 2 Meter pro Sekunde ergibt.

03:13 Auf unserem Geschwindigkeitsdiagramm wird die horizontale blaue Linie also bei 2 Metern pro Sekunde eingezeichnet und es würde bei 2 Metern pro Sekunde bleiben, solange unser Objekt diese Geschwindigkeit beibehält.

03:22 Wir können dasselbe tun, wenn wir die Beschleunigung ermitteln, die durchschnittliche Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit durch die Änderung der Zeit, aber beachten Sie, dass das Delta v, die Änderung der Geschwindigkeit, gleich Null ist.

03:33 Wenn wir Null durch eine bestimmte Zeit dividieren, erhalten wir einfach Null und so zeigt das Beschleunigungsdiagramm immer noch die Beschleunigung Null an.

03:40 Ein letzter Hinweis hierzu: Das Geschwindigkeitsdiagramm berücksichtigt Positionsänderungen gegenüber Zeitänderungen, aber nichts im Geschwindigkeitsdiagramm sagt mir, wo sich mein Objekt befindet.

03:50 Mein Objekt hätte überall starten und überall enden können, solange es sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt. Für unser Geschwindigkeitsdiagramm heißt das: Wir haben die konstante horizontale gerade Linie, denn das Diagramm weiß nicht, wo unser Objekt ist oder wo es rausgekommen ist. Es sagt uns nur, wie das Objekt sich bewegt, wie sie sich im Laufe der Zeit verändert. Wenn ich also die Position im Positionsdiagramm nach oben oder unten bewege, also die Position meines Objekts ändere, wirkt sich das überhaupt nicht auf mein Geschwindigkeitsdiagramm aus, weil mein Geschwindigkeitsdiagramm, wie stark der Anstieg des Positionsgraphen ist, und dies ist unabhängig davon, wo sich der Positionsgraph befindet.

04:18 Als letztes wollen wir die Beschleunigung ändern, sodass sie nicht mehr Null ist.

04:23 Dies wäre also der Fall, wenn ein Objekt fällt oder eine Kraft auf es einwirkt oder etwas Ähnliches.

04:28 Wenn unser Objekt beschleunigt wird, ist das Erste, was Sie machen, die Geschwindigkeitskurve zu betrachten.

04:32 Die Geschwindigkeitskurve begann bei Null, nahm dann aber zu, d. h. es nimmt an Geschwindigkeit zu.

04:37 Dies wäre genau dann der Fall, wenn Sie sich in einem Fahrzeug oder Ähnlichem befinden.

04:41 Sie beginnen in Ruhe und beschleunigen dann, sodass Sie immer schneller und schneller werden.

04:45 Wenn man immer schneller wird, wird auch die Geschwindigkeit immer höher.

04:50 Sie nimmt zu, sie steigt in unserem Geschwindigkeitsdiagramm an.

04:53 Wenn dies geschieht, wird sich der Anstieg des Positionsgraphen ändern, er wird immer steiler.

05:02 Er wölbt sich immer mehr nach oben. Das Objekt bewegt sich schneller und schneller oder mit anderen Worten, fängt an, sich in einer bestimmten Zeitspanne immer weiter und weiter und weiter zu bewegen und wenn ich also eine Beschleunigung einführe, die nicht Null ist, wie wir bereits kurz erwähnt haben, wird das Positionsdiagramm eine Kurve. Es bekommt tatsächlich eine Biegung.

05:20 Es gibt also einige wichtige Dinge darüber zu wissen, was passiert, wenn ich zulasse, dass sich mein Positionsgraph krümmt.

05:24 In erster Linie kann ich meine Durchschnittsgeschwindigkeitsgleichung nicht mehr verwenden, um zu wissen, wie hoch meine Geschwindigkeit ist, denn meine Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit. In jedem Moment ist meine Geschwindigkeit also anders.

05:34 Ich kann also nicht einfach meine Durchschnittsgeschwindigkeitsgleichung von Entfernung und Zeit verwenden, denn je nachdem, welches Zeitintervall ich in meinem Positionsdiagramm wähle, ändert sich dieser Wert im Laufe der Zeit, was bedeutet, dass wir nicht einfach eine bestimmte Geschwindigkeit festlegen können.

05:47 Es sei denn, es handelt sich um einen bestimmten Zeitpunkt in unserem Geschwindigkeitsdiagramm.

05:51 Der zweite Punkt ist, dass ich alle Diagramme einfach umkehren und umdrehen könnte, wie etwa in dem Beispiel mit dem Centstück, bei dem ein Gegenstand vom Gebäude fällt, sich nach unten bewegt und dabei eine Beschleunigung von minus 9,8 Meter pro Sekunde zum Quadrat hat.

06:04 Wenn das der Fall ist, tun wir genau das. Wir geben unserer Beschleunigungskurve einen negativen Wert.

06:09 Wenn die Beschleunigung also negativ ist, wird die Geschwindigkeit immer kleiner und kleiner und kleiner, also immer negativer werden. Und in ähnlicher Weise wird unsere Position eine immer negativeren Anstieg annehmen und immer schneller fallen, wie Sie hier sehen.

06:23 Lassen Sie uns nun etwas Kniffligeres machen. Angenommen, ich gebe Ihnen ein Positionsdiagramm und frage Sie nach der Geschwindigkeit, wenn wir also eine Positionskurve mit positivem Anstieg sehen.

06:34 Wir können die Geschwindigkeit anhand des Anstiegs herausfinden, oder wenn ich Ihnen ein Positionsdiagramm gebe, das eine Kurve ist, wie wir es vorher gesehen haben, wissen Sie, dass es sich um eine Beschleunigung ungleich Null handelt, weil sich der Anstieg ändert.

06:42 Noch Kniffliger wäre, mit der Geschwindigkeit zu beginnen und zu fragen: Wenn ich weiß, wie das Geschwindigkeitsdiagramm aussieht, wie sollte dann das Positionsdiagramm aussehen? Mit anderen Worten: Wenn ich weiß, wie schnell sich etwas bewegt, kann ich dann herausfinden, wie weit es sich bewegt hat? Schauen wir uns also dieses Geschwindigkeitsdiagramm an und stellen fest, dass, was ich tue, intuitiv ist, um Entfernungen zu finden und sagen, dass die Entfernung eine Geschwindigkeit mal Zeit ist, also nehmen wir zum Beispiel an, Sie fahren 50 Kilometer pro Stunde, so schnell fahren Sie und das 2 Stunden lang.

07:10 Nun, in dieser Zeit haben wir hundert Kilometer zurückgelegt, weil Sie 50 Kilometer pro Stunde für 2 Stunden gefahren sind, aber schauen Sie sich an, wie das aussieht, wenn wir es in einem Diagramm darstellen.

07:18 Das sieht dann so aus, dass dieses Rechteck eine Breite von 2 Stunden hat, seine Breite beträgt 2 und es hat eine Länge, die Geschwindigkeit, über die wir sprechen, beträgt 50 Kilometer pro Stunde, denn das ist es, was die Länge in einem Geschwindigkeitsdiagramm darstellt, aber geometrisch gesehen multipliziert man eine Breite mit einer Länge.

07:37 Der schattierte Bereich in diesem Rechteck stellt also die Geschwindigkeit mal Zeit oder die Position dar, oder wie weit man sich bewegt hat. Und so können wir geometrisch gesehen sagen, dass dieses Rechteck mir mit seiner Fläche zeigt, wie weit ich mich in meinem Positionsdiagramm bewegt habe.

07:56 Ich weiß also, dass die Positionsänderung in diesem 2-Stunden-Intervall 100 km betragen muss, weil ich mich wieder 2 Stunden lang mit 50 Stundenkilometern bewegt habe.

08:05 Hier ist etwas sehr Wichtiges, das dem ähnelt, was ich bereits erwähnt habe: die Fläche des Rechtecks sagt mir, wie sehr sich ein Objekt bewegt, aber nicht, wo sich das Objekt befindet.

08:18 Wenn ich also zum Beispiel sage, wie in diesem Beispiel, dass Sie sich mit 50 Stundenkilometern bewegt haben, und zwar 2 Stunden lang, habe ich Ihnen aber immer noch nicht gesagt, wo Sie angefangen haben. Sie hätten auch zu Hause anfangen können und Sie haben 50 Kilometer zurückgelegt oder Sie hätten bei 50 Kilometern anfangen können und bis zu hundert Kilometern oder so fahren können. Diese 100 Kilometer der Bewegung sagen uns einfach, dass es sich um eine Bewegung handelt. In diesem Positionsdiagramm könnte ich also den gesamten Positionsgraphen nach oben oder unten verschieben und jede dieser Zeilen wäre korrekt gewesen. Wenn Sie mit der Integralrechnung vertraut sind, ist dies eine Integration, wobei wir eine Unsicherheit bei der Integration von plus c haben, also plus eine Konstante.

08:51 Seien Sie sich dessen bewusst, dass wir beim Weg von Geschwindigkeit zu Position oder von Beschleunigung zu Geschwindigkeit immer nur die Änderung kennen, ohne tatsächlich die absolute Position ermitteln zu können.

09:01 Wir können dies noch einen Schritt komplizierter machen. Angenommen, wir haben ein Geschwindigkeitsdiagramm, das nicht so einfach ist wie das, was ich zuvor gezeigt habe, angenommen, es ändert sich. Sie haben eine Geschwindigkeit und diese Geschwindigkeit ändert sich und erreicht dann eine andere Geschwindigkeit.

09:13 Könnten wir dennoch die Position, die Gesamtverlagerung eines Objekts, finden, dessen Geschwindigkeitsdiagramm wie folgt aussieht? Glücklicherweise gelten unsere geometrischen Argumente nach wie vor.

09:22 Wenn man die Verlagerung eines Objekts ermitteln will, stellt sich nach wie vor heraus, dass wir hierfür die Fläche unter der Kurve ermitteln können.

09:29 In der Praxis kann man das so machen, dass man jedes Segment des Objekts in verschiedene Bereiche aufteilt, Bereiche mit einfachen geometrischen Formen, die Sie finden können.

09:38 So habe ich zum Beispiel hier ein Rechteck, dann ein Dreieck und dann zwei weitere Rechtecke.

09:42 Anhand der Aufgabe können Sie die Abmessungen jedes dieser Objekte ermitteln.

09:45 Wenn Sie die Breite und die Höhe der Rechtecke kennen, wissen Sie vielleicht auch die Basis und die Höhe des Dreiecks, je nachdem, welche Zeiten und welche Geschwindigkeiten Ihnen genannt wurden.

09:53 Mithilfe einfacher Geometrie können Sie die Flächen dieser vier Objekte addieren, die ich als a1 plus a2 usw. geschrieben habe, die Flächen dieser vier Objekte und wenn Sie die Flächen der vier Objekte unter dem Geschwindigkeitsdiagramm addieren, dann können Sie die Verlagerung Ihres Objekts ermitteln und das ist eine gute Zusammenfassung dafür, wie Graphen funktionieren und wie man Systeme visualisiert und ich danke Ihnen für Ihre Aufmerksamkeit.