Vectors

00:01 Nun, da wir jetzt eine bessere Vorstellung davon haben, wie sich Dinge in einer Dimension bewegen, werden wir die Ideen, die wir bereits diskutiert haben, auf 2 Dimensionen ausweiten.

00:10 Bei der Erörterung der zweidimensionalen Bewegung beginnen wir mit dem Prinzip von Vektoren.

00:14 Wir werden über zweidimensionale Vektoren sprechen und dann über etwas diskutieren, das sehr, sehr häufig vorkommt und damit können Sie in Zukunft Aufgaben mit Projektilbewegung lösen.

00:25 Zunächst möchten wir zwischen einem Skalar und einem Vektor unterscheiden.

00:31 Ein Vektor ist eine Größe, die nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung hat.

00:37 Ein einfaches Beispiel macht dies noch deutlicher.

00:39 Wenn ich Sie zum Beispiel fragen würde wie hoch, die Temperatur an jedem Punkt in diesem Raum ist, könnte man sagen, es sind 5 Grad, 10 Grad, aber man würde nicht sagen, es sind 5 Grad in diese oder in jene Richtung.

00:50 Es ist nur eine Zahl. Es sind nur 5 Grad, 10 Grad, irgendeine Zahl.

00:53 Wie Sie an diesen roten Punkten sehen können, befinden sich die einzelnen Punkte in diesem Raum, so könnte man sich eine Art Temperatur an jedem Ort vorstellen, aber keine Richtung, die mit dieser Temperatur verbunden ist.

01:02 Wenn dies der Fall ist, handelt es sich nur um eine Zahl ohne Richtung, das heißt, wir nennen diese Zahl einen Skalar. Andererseits, wenn ich Sie jetzt fragen würde: In welche Richtung bewegt sich die Luft in diesem Raum? Oder wie stark ist der Wind? Sie könnten mir sagen, dass sich der Wind an jedem Punkt 1 Kilometer pro Stunde bewegt oder 2 Stundenkilometer in diese Richtung oder in jene Richtung und so kann ich an jedem Punkt in diesem Raum nicht nur betrachten, wie stark sich der Wind bewegt, sondern auch in welche Richtung sich der Wind bewegt.

01:30 Wenn Sie einen Vektor wie diesen Wind sehen, sehen Sie oft einen Pfeil über dem Buchstaben.

01:37 Dieser Pfeil über dem Buchstaben w würde also bedeuten, dass es sich um den Wind als Vektor handelt, eine Größe, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung hat.

01:44 Hier ist ein einfaches Beispiel dafür, wie ein Vektor in 2 Dimensionen funktionieren könnte.

01:49 Was wir hier sehen, ist ein Flugzeug aus der Vogelperspektive, und nehmen wir an, dass dieses Flugzeug leicht nach Nordosten fliegt.

01:55 Die Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt z. B. 500 Kilometer pro Stunde.

02:00 Und die Geschwindigkeit ist nur ein Skalar. Sie ist nur eine Zahl, die angibt, wie schnell sich das Objekt bewegt.

02:06 Andererseits, wenn ich sowohl die Zahl als auch den roten Pfeil betrachte, der 500 Stundenkilometer schnell ist und nach Nordosten zeigt, würde ich das als die Geschwindigkeit des Flugzeugs bezeichnen.

02:15 Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, weil ich nicht nur die Zahl berücksichtige, 500 Stundenkilometer, sondern auch in welche Richtung diese Bewegung geht.

02:25 Wir können dies quantitativ in Form von Vektoren beschreiben, durch Beschreibung der Bewegung des Flugzeugs in östlicher und nördlicher Richtung getrennt. Wenn ich also zum Beispiel diesen Windvektor nehmen wollte, der 500 Stundenkilometer nordöstlich liegt, könnte ich mir vorstellen, dass der Betrag der Bewegung, die direkt nach Osten führt, einer Geschwindigkeit von 400 Stundenkilometern entspricht und ich könnte auch fragen, wie sie schnell sie nach Norden geht, und das sind 300 Kilometer pro Stunde.

02:53 So kann man einen zweidimensionalen Vektor schreiben, wobei wir den Vektor einfach in seine Komponenten zerlegen, und das ist es in diesem Fall. Man nimmt einfach einen Vektor und betrachtet die verschiedenen senkrechten Richtungen und Sie teilen ihn auf oder zerlegen ihn in die 2 Komponenten, was wir gleich noch besprechen werden.

03:10 Sie würden Ihren Vektor so schreiben, wie Sie ihn hier sehen.

03:12 Die Geschwindigkeit könnte ich als Vektor v bezeichnen, mit einem Pfeil darüber, und ich würde die 2 Richtungen schreiben, die 300 und die 400, der Norden und der Osten getrennt, aber direkt nebeneinander.

03:23 Das ist einfach so Konvention.

03:26 Wir nehmen einfach 2 Zahlen und fügen sie zusammen.

03:29 Das ist noch wirklich nichts Besonderes.

03:32 Wir stellen einfach 2 Zahlen nebeneinander.

03:34 Es gibt also keinen Grund, sich einschüchtern zu lassen, wenn Sie einen Vektor sehen.

03:36 Wenn Sie einen Vektor betrachten und ein wenig verwirrt sind, wie Sie ihn in Ihrem Kopf interpretieren sollen, so sollte man darüber denken: Es sind einfach andere Zahlen, die nebeneinander gestellt werden und angeben, wie viel von Ihrem Vektor auf die einzelnen Komponenten entfällt, wie wir es bei diesem Flugzeug gesehen haben.

03:51 Nachdem wir nun verstanden haben, was ein Vektor ist, nämlich die Darstellung verschiedener Komponenten einer Größe in verschiedenen senkrechten Richtungen, können wir fragen, was passiert, wenn wir einen Vektor hinzufügen.

04:00 Wenn das Flugzeug in diesem Fall zum Beispiel teilweise nach Norden und teilweise nach Osten fliegt.

04:05 Was wäre, wenn wir einen Wind einführen würden, der mit 100 Stundenkilometern nach Osten bläst? Es wäre ein ziemlich starker Wind, aber nur für dieses Beispiel, wenn er nur aus dem Osten wehen würde.

04:13 Wie könnten wir den neuen Vektor, die neue Richtung der Geschwindigkeit finden, in die sich dieses Flugzeug bewegen würde? Und zum Glück ist dies so ziemlich genau das, was man erwarten würde, wenn man Vektoren hinzufügen will.

04:25 Wie Sie hier sehen können, handelt es sich bei dem blauen und dem grünen Feld um 2 Vektoren.

04:29 Die eine ist der Vektor der ursprünglichen Bewegung des Flugzeugs, die 300 und 400 Stundenkilometer nach Norden und Osten.

04:36 Wir fügen den Windvektor hinzu, der in nördlicher Richtung keine Bewegung aufweist und so haben wir eine Null in diesem ersten Eintrag, und dann 100 Kilometer pro Stunde in der zweiten Dimension.

04:47 Um diese 2 Vektoren zu addieren, werden einfach Komponente für Komponente addiert.

04:50 Wir addieren also den Norden mit dem Norden und den Osten mit dem Osten.

04:53 Wir haben also 300 plus Null für die Nordrichtung des Flugzeugs, nachdem der Wind darauf geblasen hat.

04:58 Das bedeutet, dass es sich mit 300 Stundenkilometern nach Norden bewegt und dann hat es immer noch diese 500, also die Bewegung aus 400 plus 100 in Richtung Osten, weil wir den Windvektor hinzufügen.

05:11 Und so addiert man Vektoren zusammen.