Uniform Circular Motion Example

00:01 Wir können dies am besten anhand eines Beispiels analysieren.

00:03 Also angenommen, du schwingst einen Apfel um deinen Kopf an einer ein Meter langen Schnur.

00:08 Dazu könnten wir zum Beispiel ein paar Fragen stellen: Was ist die langsamste Geschwindigkeit, mit der der Apfel schwingen kann, ohne die Kreisbahn zu verlassen? Oder wir könnten auch fragen, wie viel Spannung in der Schnur oder dem Seil ist, das ich benutze, um einen Gegenstand direkt über dem Boden des Weges zu schwingen, wenn wir die Masse unseres Gegenstandes kennen, in diesem Fall, sagen wir, ein 1-Kilogramm-Objekt? Probieren Sie also zunächst aus, was wir gerade mit der neuen Kraft eingeführt haben, nämlich etwas in eine kreisförmige Bewegung und in eine gleichmäßige Kreisbewegung zu versetzen und versuchen Sie, diese beiden Fragen durch Analyse des Szenarios zu lösen insbesondere mit Bildern und unter Verwendung einer neuen Gleichung.

00:42 Wenn Sie dies getan haben, sollten Sie etwas erhalten, das in etwa wie diese Analyse aussieht.

00:47 Nehmen wir zunächst die erste Frage: Welches ist die langsamste Geschwindigkeit, die ein Apfel schwingen kann und dabei trotzdem seine Kreisbahn beizubehalten? In diesem Bild können Sie sehen, dass der Radius des Kreises einen Meter beträgt und wir haben auch unseren Apfel mit der Masse m und der Kraft mg und er zieht nach unten in Richtung des Mittelpunkts unseres Kreises.

01:06 Da sich das Objekt auf einer Kreisbahn bewegt, wirken zwei Kräfte auf es ein mg nach unten wirkt und dann auch die Spannung im Seil, die es ebenfalls nach unten zieht.

01:15 Wir können dies also als F-sub-T für die Zugkraft bezeichnen, die auf unser Objekt nach unten zieht.

01:20 Diese beiden Kräfte ziehen also an unserem Objekt nach unten, wenn er sich am oberen Ende des Kreises befindet, wenn er sich am unteren Ende des Kreises befindet, wenn Sie es schwingen, die Gravitationskraft wirkt immer nach unten.

01:31 Und das tut sie immer. Eine weitere Zugkraft wirkt nach oben, sodass die Schwerkraft am unteren Ende des Weges in entgegengesetzter Richtung der Spannung und am oberen Ende des Weges in gleicher Richtung der Spannung wirkt.

01:42 Was uns interessiert, ist die langsamste Geschwindigkeit, mit der sich der Apfel bewegen kann.

01:47 Schreiben wir zunächst unsere Beschleunigungsgleichung, dass die Beschleunigung gleich v zum Quadrat sein muss geteilt durch den Radius unserer Bahn auf. Weiter könnten wir die Kraftgleichung m mal a schreiben, diese ist gleich mv zum Quadrat über r. Betrachtet man diese Gleichung, so stellt man fest, dass, wenn man die kleinste Geschwindigkeit für unser Objekt haben will, die Kraft auf der linken Seite ebenfalls minimiert werden muss.

02:12 Welches ist die Mindestkraft, die dieses Objekt auf einer Kreisbahn halten kann? Wir betrachten dieses Objekt ganz oben auf dieser Bahn wir haben mg und die Spannungskraft, die nach unten auf das Objekt wirkt, im Gegensatz zur Unterseite, oder wir haben mg und ich werde sie Spannungskraft nennen, um unsere Notation konsistent zu halten.

02:29 Wenn ich also diese Kraft, die aus zwei Komponenten besteht, nämlich Spannung und Schwerkraft, minimieren möchte, dann möchte ich die Spannungskraft, nennen wir sie mal Spannungskraft, so klein wie möglich machen, damit sich das Objekt immer noch im Kreis bewegt.

02:52 Was ich in diesem Fall tun kann, also sagen wir, die Spannung ist gleich Null das wäre die kleinste, die es geben könnte. Am oberen Ende der Bahn kann man nicht weniger als Null erhalten.

03:01 Dies würde bedeuten, dass die einzige Kraft, die oben auf das Objekt wirkt, nach unten gerichtet ist.

03:04 Damit ist mg die einzige Kraft, die auf unser Objekt in diesem Fall einen Apfel, wirkt, wenn er sich ganz oben auf dieser Bahn befindet.

03:11 Und da wir wissen, dass dies der Fall ist, können wir nun die langsamste Geschwindigkeit ermitteln.

03:15 Wenn wir das zweite Newtonsche Gesetz anwenden, ist F gleich ma, das F, die Kraft, die wir oben auf der Bahn erwähnt haben, ist mg.

03:26 Wir haben also mg, das auf den Mittelpunkt unseres Kreises wirkt, gleich der Masse mal der Beschleunigung und da wir wissen, dass sich das Objekt auf einem Kreis bewegen muss, haben wir die Beschleunigung v zum Quadrat über r.

03:38 Hier sind ein paar wichtige Dinge zu beachten: Zum einen können Sie sehen, dass ich eine bestimmte Zeichenkonvention gewählt habe, also bei Problemen mit Dingen, die sich im Kreis bewegen.

03:46 Ich bezeichne hier die Mitte unseres Kreises als die positive Richtung, Wenn Sie sich also zur Mitte hin bewegen, ist dies die positive Richtung.

03:55 In diesem Fall ist also mg gleich mv zum Quadrat über r.

03:58 Sie können beide Größen durch die Masse dividieren und dann die Geschwindigkeit berechnen und werden sehen, dass die Geschwindigkeit gleich der Quadratwurzel aus g mal dem Radius unseres Kreises ist.

04:06 Diese Geschwindigkeit, die Geschwindigkeit, bei der wir die Gesamtkraft, die das Objekt zum Zentrum hin zieht, minimiert haben, i indem wir die Kraft, über die wir die Kontrolle hatten, vollständig loswerden.

04:14 Die Geschwindigkeit des Ergebnisses in Bewegung wäre die Quadratwurzel aus g mal r die wir als ungefähr 10 für g mal r, das ist 1 Meter mal 1, annehmen können.

04:27 Dies ist also die Quadratwurzel aus 10, was ungefähr 3,1 Metern pro Sekunde entspricht.

04:33 Bei dieser Art von Problem mussten wir uns also auf eine möglicherweise schwierig zu befolgende Logik berufen, wenn wir das zum ersten Mal sehen, weil wir wieder eine Art von Minimierungsregel anwenden.

04:45 Dieses Objekt steht also ganz oben auf dieser Bahn und sagt im Grunde immer wir wollen die Kräfte, die auf unser Objekt wirken, minimieren.

04:51 Es ist schwieriger, die verschiedenen Teile des Weges zu berücksichtigen, aber wenn du wirklich darüber nachdenkst, dass du etwas am Seil schwingst, direkt am oberen Ende der Bahn, wo Sie die geringste Spannung beim Abwärtsziehen erzeugen.

05:00 Dann hat man das Gefühl, dass man es nach unten ziehen muss und oben wieder die geringste Spannung ist.

05:03 Der Grund dafür ist, dass sich das Objekt ganz oben befindet, wie wir in diesem Beispiel gesehen haben, ist die Schwerkraft, die einem hilft, das Objekt in die Mitte deines Kreises zu ziehen.

05:11 Am Boden hingegen muss man gegen die Schwerkraft ankämpfen, um die Kraft in der Mitte des Kreises zu halten.

05:15 Und so wählten wir die Spitze dieser Bahn, weil wir in diesem Moment wussten, wir könnten unser Objekt loslassen und ihm die Mindestgeschwindigkeit geben, die es braucht, um in einer gleichmäßigen Kreisbewegung zu bleiben.

05:24 Wir können uns nun dem zweiten Teil des Problems zuwenden und fragen, wie der Fall ist, wenn die Geschwindigkeit am geringsten ist und wie viel Spannung in der Schnur ist, wenn das Objekt, dieser Apfel, ganz unten auf der Bahn ist.

05:35 Nun wieder einmal haben wir gesehen, dass am Ende der Bahn die Schwerkraft nach unten und die Spannung nach oben wirken.

05:42 Wir haben also eine andere Richtung für eine Kraft in dieser Zeit.

05:44 Wenn wir also noch einmal das zweite Newtonsche Gesetz schreiben, haben wir F gleich ma ein weiteres Mal die Zeichenkonvention verwenden oder ich rufe in die Mitte des Kreises die positive Richtung, d. h. weg vom Zentrum, wäre eine negative Richtung, dann können wir sehen, dass f Spannung minus mg gleich mv zum Quadrat über r ist.

06:08 Und dann setzen wir wieder das mv-Quadrat über r auf der rechten Seite unserer Gleichung ein, weil wir versuchen, die Gleichung zu lösen.

06:16 Die Gesamtheit der Kräfte, die am Ende des Tages wirken, sollte besser gleich dem Quadrat von mv über r sein, weil wir wissen, dass sich unser Objekt im Kreis bewegt.

06:22 Dies ist etwas, das wir sehr schnell vereinfachen können, weil wir im vorherigen Teil gesehen haben, dass mv quadriert über r auch gleich mg ist. Dies haben wir gesehen, indem wir den oberen Teil der Bahn analysiert haben.

06:35 Und dass genau am oberen Ende der Bahn die einzige Kraft, die nach unten auf das Objekt wirkt, die Gravitationskraft war und wir aufgehört hatten, am Seil zu ziehen.

06:42 Wir mussten aufhören, das Seil zu spannen, und die einzige Kraft, die auf sie wirkte, war mg, und wir hatten dies gleich mv zum Quadrat und über r.

06:49 Jetzt können wir also sagen, dass die Zugkraft minus mg gleich der Kraft aus unserer Analyse vor mg ist.

06:56 Die Zugkraft, die wir am unteren Ende des Weges aufbringen müssen, ist also die Addition von mg auf beiden Seiten. Dies ergibt das Doppelte der Masse mal der Fallbeschleunigung.

07:05 Und in diesem speziellen Beispiel hatten wir ein 2-Kilogramm-Objekt, oder, Entschuldigung, ein 1-Kilogramm-Objekt für diesen Apfel, Dies entspricht also dem 2-fachen der Masse, also 1 Kilogramm.

07:15 und auch hier verwenden wir den Näherungswert für g, der 10 Meter pro Sekunde zum Quadrat beträgt.

07:20 Dies ist gleich 2 mal 10, für die Zahlen 20 und dann müssen wir unsere Einheiten ausarbeiten. Dies entspricht Kilogramm Meter pro Sekunde quadriert, als 20 Newton, die Einheit der Kraft.

07:31 Dies wäre also die Kraft der Spannung, wenn sich das Objekt am unteren Ende der Bahn befindet.

07:37 Sie können also sehen, dass, wenn Sie etwas in einem Kreis schwingen, was wir mathematisch haben, tatsächlich unserer Intuition folgt, dass, wenn etwas an der Unterseite der Bahn, die Gravitationskräfte auf Sie nicht nur die Schwerkraft durch die Anwendung Ihrer eigenen mg zu holen haben, müssen wir eine weitere Einheit von mg anwenden, um es in Richtung der Mitte des Kreises gezogen zu halten.

07:55 Direkt an der Spitze der Bahn müssen Sie keine Spannung anwenden.

07:58 Die Schwerkraft wird die mg selbst anwenden und dafür sorgen, dass sich das Objekt im Kreis dreht.