Torque Example

00:01 Hier ist ein Beispiel für die Lösung einer Aufgabe zum Drehmoment: Angenommen, du hast ein 10 kg schweres Ladenschild und es hängt in der Mitte einer Stange, die eine Achse hat.

00:11 Es wird von einem 2 Meter langen Seil gehalten, das mit dem Ende der Stange verbunden ist.

00:15 Außerdem ist es 1 Meter über dem Drehpunkt an der Wand befestigt.

00:20 Wir könnten uns fragen, wie viel Zugkraft auf diesem Seil liegt? Das ist eine sehr wichtige, praktische Frage, weil wir ein Seil kaufen möchten, das stark genug ist, um unser Schild zu halten.

00:28 Versuch also, diese Aufgabe zu lösen und zu sehen, ob du die Formel für das Drehmoment und die Idee des Hebelarms, die wir gerade besprochen haben, anwenden kannst, um eine Aufgabe wie diese zu lösen.

00:37 Wenn du diese Aufgabe also ausprobiert hast, sieht deine Antwort hoffentlich so aus wie das, was ich hier zeigen werde.

00:43 Wir sehen bei dieser Aufgabe, dass wir eine Kraft, nämlich die Schwerkraft haben, die auf unser Zeichen direkt nach unten wirkt.

00:51 Wir wissen also, dass diese Schwerkraft gleich der Masse unseres Zeichens mal der Gravitationsbeschleunigung ist.

00:58 Außerdem wird durch das Seil eine Zugkraft erzeugt.

01:02 Nennen wir diese Zugkraft zum Beispiel F.

01:05 Wir haben einen Winkel, Theta, den wir hier einfach definieren, während wir fortfahren.

01:09 Wir haben unseren Drehpunkt, denn das ist der Punkt, um den sich alles in dieser Aufgabe drehen wird.

01:14 Bezogen auf die Zahlenwerte wissen wir, dass der Abstand 1 Meter vom Drehpunkt beträgt.

01:21 Und wir wissen, dass wir ein 2 Meter langes Seil haben.

01:24 Wir wissen also, dass sie in dieser Richtung 2 Meter lang ist.

01:30 Angesichts dieser Tatsache möchten wir versuchen, einen Weg zu finden, um das Zeichen ins Gleichgewicht zu bringen.

01:35 Wir wollen nicht, dass sich das Zeichen bewegt.

01:37 Er schwingt sich nicht auf und ab, sondern bleibt genau da hängen, wo es ist.

01:40 Wir befolgen einfach das zweite Newton’sche Gesetz, wo sich nichts bewegt, wo es keine Beschleunigung gibt und das setzen wir in alle Gleichungen für alle Drehmomente in der Aufgabe ein und sagen dann, dass das auf das gesamte im System wirkende Drehmoment gleich Null ist.

01:54 Lass uns also herausfinden, welche Drehmomente hier auf unsere Stange wirken.

01:58 Das Drehmoment, das auf diese Stange wirkt, wenn wir diesen Drehpunkt hier betrachten, ist hier die direkt nach unten wirkende Gravitationskraft und dann die Kraft der Zugkraft hier, die in einem seltsamen Winkel theta wirkt.

02:11 Schreiben wir also diese Drehmomente auf.

02:13 Das gesamte Drehmoment ist ausgeglichen.

02:16 Jetzt müssen wir das Drehmoment wieder als Kraft mal Weg angeben.

02:20 Schauen wir uns also zuerst diese Kraft hier an.

02:23 Die Strecke kennen wir nicht.

02:25 Das ist ein gewisser Abstand hier. Ermitteln wir einfach die Länge unserer Stange, damit wir zumindest sie in unsere Gleichung einsetzen können.

02:31 Nennen wir sie R. Wir haben eine Stange der Länge R, und es ist sehr wichtig dies zu bedenken, wenn du eine Aufgabe auf diese Weise angehst und dir eine bestimmte Variable nicht vorgegeben wird, so wurde zum Beispiel hier nicht die Länge R angegeben.

02:44 Du kannst eine Variable auch selbst definieren.

02:47 Man kann nur hoffen, dass am Ende, die Variable verschwindet, weil man nicht weiß, was sie ist.

02:51 Aber wir werden das einfach weitermachen und sehen, was passiert, wenn wir unsere Gleichungen vereinfachen.

02:55 Nennen wir diese Strecke also R, und die Entfernung, in der die Gravitationskraft wirkt, ist R zum Quadrat und somit ist das Drehmoment der Gravitationskraft gleich der Gravitationskraft mal Entfernung, also R zum Quadrat.

03:12 Bei diesem Drehmoment sind jedoch noch einige weitere Dinge zu beachten.

03:15 Zunächst einmal: Was ist der Sinus von Theta? Wir haben festgestellt, dass der Radius vom Drehpunkt aus direkt nach rechts verläuft.

03:22 Und dann haben wir eine Kraft von unserem Schild, die direkt nach unten wirkt.

03:25 Der Winkel zwischen diesen beiden, dem R und dem F und unserer Gleichung beträgt also 90 Grad und so brauchen wir uns eigentlich keine Sorgen um den Sinus von Theta zu machen, da die Kraft, das Drehmoment des Schilds, genau senkrecht auf der Strecke zum Drehpunkt steht, sodass man sich hier keine Sorgen machen muss.

03:41 Eine andere Sache, die wir bei dieser Kraft beachten müssen, ist, dass sie im Uhrzeigersinn wirkt.

03:46 Du musst daran denken, dass wenn das Schild in Relation zum Drehpunkt nach unten gezogen wird, die gesamte Stange sich im Uhrzeigersinn drehen möchte, was bei unseren Vorzeichenregeln für Drehmomente, die sich nach rechts oder links drehen möchten, bedeutet, dass man dieses Drehmoment hier als negativ betrachtet würde, denn auch hier wird versucht, das System im Uhrzeigersinn zu drehen.

04:04 Wir denken also daran, hier unser Minuszeichen einzufügen.

04:06 Wir haben ein Minus und hier ist unser Drehmoment des Schilds.

04:11 Jetzt müssen wir noch das von der Zugkraft des Seil ausgehende Drehmoment berücksichtigen.

04:16 Hier wird es ein wenig kniffliger.

04:19 Es gibt zwei Herangehensweisen.

04:21 Erstens haben wir unsere Kraft, die im Abstand R wirkt, und dann haben wir den Sinus von Theta, ich schreibe ihn mal ganz naiv ausgeschrieben auf.

04:33 Wir haben die Kraft mal die Strecke, die wir hier eingeführt haben, mal den Sinus des Winkels theta, wie groß auch immer der Winkel theta ist.

04:41 Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht also darin, die Geometrie der Aufgabe zu betrachten und man weiß sofort, was der Sinus von Theta ist, denn der Sinus von Theta ist immer durch ein Dreieck definiert.

04:50 Bei dieser Aufgabe haben wir es mit einem Dreieck zu tun, das einen 1 Meter langen Schenkel und eine 2 Meter lange Hypotenuse hat, wenn bedenkt, dass es durch die Stange, die Wand und das Seil gebildet wird.

05:01 Wenn man sich dieses Dreieck ansieht, erkennt man, dass die gegenüberliegende Seite 1 Meter lang ist.

05:06 Die Hypotenuse ist 2 Meter lang und, da der Sinus von Theta per Definition die gegenüberliegende Seite der Hypotenuse ist, ergibt sich, dass der Sinus von Theta gleich der Hälfte ist.

05:18 So lässt sich leicht herausfinden, wie hoch das erforderliche Drehmoment sein muss.

05:21 Man kann sagen, dass das Drehmoment F mal R mal die Hälfte von deinem Sinus von Theta ist.

05:28 Die andere Möglichkeit, falls du dich nicht auf diese Art von trigonometrischem Argumentationen verlassen möchtest, ist es, für dieses Problem wieder den Hebelarm zu betrachten.

05:34 Zeichnen wir also ein, wo sich der Hebelarm befinden müsste.

05:38 Und wieder ziehen wir eine Linie direkt von unserem Drehpunkt zur Kraftlinie, wobei die Kraft die auf diese Richtung wirkende Zugkraft des Seils ist und so würden wir diese Linie entlang des Seils in Richtung der Kraftlinie verlängern und diese Länge hier wäre unser Hebelarm.

05:53 Und jetzt müssen wir wieder mit dem trigonometrischen Argument glänzen.

05:57 Wir haben hier eine Länge, einen Hebelarm und wir eine Strecke R und somit wäre dieser Hebelarm auch R mal der Sinus von Theta.

06:12 Da wir nun ein Ergebnis für das Drehmoment haben, versuchen wir es zu vereinfachen und gehen wir wieder davon aus, dass das gesamte auf unser Objekt wirkende Drehmoment gleich Null ist, da sich das Ganze nicht wirklich in die eine oder andere Richtung dreht.

06:25 Wenn wir also sagen, dass Null unser Drehmoment ist, haben wir minus FG mal R zum Quadrat plus Kraft der Zugkraft mal R mal dem Sinus von Theta, wobei wir wieder gesehen haben, dass dies einfach die Hälfte ist.

06:42 Vereinfachend ergibt sich FG mal R zum Quadrat ist gleich der Zugkraft mal R mal ein halb.

06:51 Dieses R zum Quadrat wird zum Glück von beiden Seiten gekürzt.

06:55 Wir können beide Seiten durch den Radius R hoch die Höhe unseres Schilds an der Stange dividieren.

07:00 Und weil die Stange in zwei geteilt ist, können wir beide Seiten durch diese Gesamtmenge teilen und es verschwindet, wie wir es uns erhofft haben, als wir die Variable R eingebracht haben, sodass es nicht wieder zu diesem Problem kommt, weil wir nicht wissen, wie lang die gesamte Länge ist.

07:13 Teilt man also dieses R durch zwei auf beiden Seiten der Gleichung, müssen wir einfach die Zugkraft gleich der Gravitationskraft setzen.

07:21 Die Zugkraft ist also gleich der Masse des Schilds mal der Fallbeschleunigung, was in diesem Fall einfach gleich 10 kg mal der Gravitationsbeschleunigung ist, die wir hier einfach 9,8 nennen können, was annähernd genau ist und wir in dieser Aufgabe nicht weiter damit arbeiten.

07:39 Wir haben gar nicht lange gebraucht und können sagen, dass die Zugkraft des Seils 98 Newton beträgt.

07:47 Das ist wiederum das Gewicht des Schildes gleich M mal G.