Torque and Equilibrium

00:02 Wir haben bereits die Bewegungsgleichungen diskutiert, wie sich die Dinge von selbst bewegen, wie Kräfte wirken und einige wichtige Kräfte definiert.

00:09 Außerdem wie man mithilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes diese Kräfte berechnet.

00:12 Wir werden jetzt zum Gleichgewicht übergehen.

00:14 Wir werden über Drehmoment sprechen. Wir besprechen wie sich Dinge bewegen, wenn sie rotieren, und danach in Kürze die Idee des Gravizentrums und wie es mit dem Massenschwerpunkt zusammenhängt.

00:25 In dem Bild, das du hier siehst, haben wir zwei Objekte, die sich um einen Punkt ausgleichen, den man Drehmoment nennt.

00:30 Was das ist, ist der Drehpunkt, an dem diese beiden Objekte eine Drehung nach links oder rechts vollziehen können.

00:37 Ein Gleichgewicht würde in diesem Fall der beiden Objekten bestehen, wenn sie die gleiche Masse und den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben.

00:44 Wir nennen diese beiden Gravitationszentren, aber weil diese Objekte nicht die Größe Null haben, sind es nicht nur einzelne kleine Punkte.

00:50 Sie haben tatsächlich eine gewisse Größe.

00:52 Wir müssen uns also fragen: Wie agieren diese Objekte? Wo befinden sich diese Kräfte auf dem horizontalen Balken, den Sie sehen? Wir nennen das Zentrum der Schwerkraft des Objektes, welches, wie wir gleich sehen werden, mit dem Massenschwerpunkt dieser Objekte zusammenhängt.

01:08 Doch nun zum Drehmoment selbst.

01:10 Was passiert, wenn etwas so rotiert, dass es so aussieht als würden die beiden Massen bewirken, dass der Balken sich um den Mittelpunkt dreht? Wenn ich ein Objekt habe, das an einem Punkt befestigt ist, sich aber drehen kann, wenn ich die Kraft auf das Tor ausübe, das Sie hier sehen.

01:27 Wenn wir eine Kraft ausüben, können wir uns vorstellen, dass dieser ganze Balken sich einer Art Rotationsbewegung unterzieht.

01:34 Wenn wir nun diese Art der Bewegung beschreiben wollen, müssen wir eine neue Art des Denkens über Bewegung und Koordinatensysteme entwickeln.

01:43 Bisher haben wir uns nur mit Dingen beschäftigt, die sehr linear sind.

01:45 Sie bewegen sich in einer geraden Linie, egal ob es sich um eine oder zwei Ebenen handelt.

01:48 Wir müssen uns also überlegen, wie wir ein System wie dieses beschreiben können das rotiert, anstatt sich nur in geraden Linien zu bewegen.

01:55 Der erste Ort, an dem wir beginnen, ist wie bei der translatorischen Bewegung, wir wählen einen Ursprung für die Rotationsbewegung, wir nennen diesen Punkt den Drehpunkt, weil er der Punkt ist, um den sich die Objekte drehen oder rotieren.

02:10 Du wirst es vielleicht bemerken, wenn ich die Kraft auf ein Tor wie dieses anwende, es würde von der Rotationskraft abhängen, die ich um diesen Drehpunkt habe, je nachdem, wie weit entfernt vom Drehpunkt ich mit meiner Kraft drücke.

02:22 Du kannst dir das sehr leicht am Beispiel einer Tür vorstellen, du würdest den Griff einer Tür nicht in der Nähe des Drehpunkts der Tür anbringen wollen.

02:29 Du solltest den Griff immer so weit wie möglich vom Drehpunkt entfernt anbringen.

02:32 Das liegt daran, dass du so größte Drehmoment erhältst, wenn du die Kraft in der größten Entfernung vom Drehpunkt aufbringst.

02:39 Wir definieren das Drehmoment also nicht nur als die Kraft, die du aufgebracht hast, sondern auch in Bezug auf die Entfernung vom Drehpunkt, an dem du sie aufgebracht hast.

02:48 Mit anderen Worten: Wenn du Kraft aufwendest, erhältst du ein größeres Drehmoment, je weiter sie vom Drehpunkt entfernt ist.

02:52 Es gibt jedoch einen Vorbehalt, sieh dir das Bild an und stell dir vor, wenn ich die Kraft in diese Richtung ausübe, würde ich wahrscheinlich kein Drehmoment erhalten und nicht erwarten, dass das Objekt rotiert.

03:02 Wann immer du gefragt wirst, würdest du genau das sagen.

03:05 Dieses Objekt sollte nicht rotieren oder auf dem Drehpunkt stehen.

03:07 Es ist nichts weiter, als wenn man eine Tür in Richtung ihres Drehpunktes schiebt, sie würde sich öffnen oder schließen, und deshalb müssen wir unsere Drehmomentgleichung von "Kraft mal Entfernung" zu etwas anderem ändern, um diese Tatsache beschreiben, dass das Drehmoment stark davon abhängt, in welche Richtung die Kraft wirkt, die ich aufbringe.

03:25 Die vollständige Formel für das Drehmoment sieht also wie folgt aus: Das Drehmoment ist gleich der Strecke vom Drehpunkt mal der Kraft, die ich aufbringe, dann aber noch mal dem Sinus von Theta. Und der Sinus von Theta gibt uns an, dass, wenn die Kraft und die Strecke zum Drehpunkt senkrecht aufeinander stehen, dann erhalten wir das volle Drehmoment. Wohingegen, wenn ich die Kraft nach innen oder in Richtung meines Radius aufbringe, also entgegen der Strecke weg von meinem Drehpunkt, dann haben wir haben ein reduziertes Drehmoment.

03:50 Noch etwas Wichtiges zum Drehmoment. Die Einheit des Drehmoments ist, wie du in der Gleichung siehst, solange der Sinus von Theta keine Einheiten hat, sondern nur eine Zahl ist, Kraft mal Strecke.

04:02 Und so lautet die Einheit des Drehmoments Newtonmeter, also Kraft mal Weg.

04:09 Wir wiederholen, was wir über die Richtung des Drehmoments wissen, was der Sinus von Theta bewirkt und warum er so funktioniert, wie er funktioniert.

04:16 Wenn ich zwei Kräfte, einen Drehmoment und eine Kraft und einen Strecke, die in die gleiche Richtung zeigen, habe. Genauso wie, wenn wir eine Tür nehmen und sie direkt von ihrem Drehpunkt wegziehen, erhalten wir ein Drehmoment von Null.

04:28 Das liegt daran, dass der Winkel zwischen der Strecke und der Kraft gleich Null ist, sie zeigen in genau dieselbe Richtung, und so ist der Sinus des Winkels, der Sinus von Null, ist schlicht und einfach Null.

04:37 Das gleiche Argument gilt, wenn der Winkel zwischen diesen beiden 180 Grad beträgt, da sie in diesem Fall in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen.

04:44 Das wäre so, als ob man eine Tür in Richtung ihres Drehpunktes drücken würde und sich die Tür natürlich nicht öffnen oder in diesem Fall auch nicht schließen lässt. Es würde man wieder kein Drehmoment entstehen.

04:51 Anders dagegen verhält es sich, wenn man die Kraft senkrecht zur Stecke vom Drehpunkt bis zu der Stelle, an der man die Kraft aufbringt, ausübt.

04:57 Genau wie beim Ziehen eines Türgriffs.

04:59 Wenn sie vollkommen senkrecht sind, hat man einen Winkel von 90 Grad.

05:03 Und der Sinus von 90 ist eins. Das bedeutet, dass sich unsere Formel für das Drehmoment im Vergleich zu unserer ursprünglichen vereinfacht hat.

05:08 Das Drehmoment ist gleich der Kraft mal dem Weg.

05:12 Eine einfache Möglichkeit, einige Aufgaben zu lösen, ist, sich das Schaubild anzusehen herauszufinden zu versuchen, wie man das Drehmoment lösen kann, indem man sich die Strecke R und den Sinus von Theta als eine Art Einheit vorstellt.

05:26 R mal dem Sinus von Theta, nennen wir diese Größe R mal dem Sinus von Theta den Hebelarm.

05:31 Im Grunde genommen sagen wir damit, dass wir nicht die gesamte Strecke R berücksichtigen müssen.

05:35 Betrachten wir die kürzere Strecke, die direkt von meinem Drehpunkt zur Kraftlinie führt ohne in einem langen, langen Winkel abzuweichen.

05:43 Was man tut, um den Hebelarm zu finden, ist die Kraftlinie zu verlängern, genau wie bei dieser rot gepunkteten Linie hier, und dann eine Linie direkt von Ihrem Drehpunkt zur Kraftlinie zu ziehen.

05:53 So, dass sie senkrecht zueinander stehen.

05:56 Wenn du dir dieses Schaubild ansiehst, wirst du das Dreieck bemerken, das wir mit dem Radius, der Kraftlinie und dem Hebelarm gebildet haben.

06:02 So erkennst du auch, dass mithilfe von Trigonometrie die Länge des Hebelarms einfach durch R mal Sinus von Theta gegeben ist.

06:08 Folglich ist der Hebelarm L gleich R mal dem Sinus von Theta und, da das Drehmoment einfach gleich der Kraft mal dem Hebelarm ist, können wir unsere Gleichung für das Drehmoment umstellen.

06:18 Und wir werden schnell feststellen, dass der Hebelarm manchmal viel einfacher zu finden ist als über das abstraktere Konzept "Wo ist meine Kraft?”, “Wie groß ist mein Abstand?” und “Wie groß ist der Winkel zwischen ihnen?” nachzudenken.