Projectile Motion: Example Part 1

00:01 Wir haben hier ein Beispiel für eine Projektilbewegung, das uns zeigt, wie wir eine komplizierte Fragestellung lösen können.

00:08 Wir fragen uns, wenn man eine Kanonenkugel mit einer Geschwindigkeit von hundert Metern pro Sekunde in einem Winkel von 45 Grad zur Horizontalen abfeuert, wie weit wird diese Kanonenkugel fliegen und welche maximale Höhe wird sie erreichen? Als erstes sollten Sie die Bewegungsgleichungen verwenden und die Prinzipien, die ich vorher beschrieben habe, wie diese Projektilbewegungs-Problemstellungen funktionieren. Probieren Sie es aus.

00:29 Versuchen Sie, mithilfe Ihrer horizontalen Gleichungen herauszufinden, wie weit sie fliegen würde oder wie hoch die maximale Höhe sein würde, wenn man die vertikalen Gleichungen verwendet.

00:37 Manchmal muss man diese Gleichungen zusammen verwenden.

00:40 Wenn Sie das ausprobiert haben, können wir es nun gemeinsam angehen.

00:46 Als erstes werde ich ein kurzes Schema zeichnen, wie das Ganze aussieht.

00:52 Wir haben eine Kanonenkugel, die wir mit einer Geschwindigkeit von v abschießen werden.

00:56 Und wir haben in diesem Problem einen Winkel Theta, der in unserem Fall 45 Grad beträgt.

01:01 Wie wir besprochen haben, nehmen wir an, dass sie startet und dann irgendwo landen wird, und wir fragen nach der Entfernung, der Gesamtdistanz, die diese Kanonenkugel zurücklegen wird, die ich d nenne. Wie bereits erwähnt, müssen wir als erstes diesen Vektor in seine zwei Komponenten zerlegen - eine horizontale und eine vertikale Komponente.

01:22 Die horizontale Komponente ist also v mal dem Kosinus von Theta, und die vertikale Komponente ist, wie wir gesehen haben, v mal dem Sinus von Theta.

01:29 Damit sind wir bereit, die horizontalen und vertikalen Komponenten zu lösen und ich werde diese getrennt halten. Ich werde also die Horizontale hier hinschreiben.

01:42 Ich werde versuchen, dies in getrennten Spalten zu halten und ich werde die Vertikale hier hinschreiben.

01:47 Schauen wir uns also zunächst die Horizontale an, denn wenn wir uns dieses Problem ansehen, sehen wir hier die Entfernungsvariable d und wollen herausfinden, wie weit sie reicht.

01:59 Dies zeigt uns, dass es sich um die horizontale Richtung handelt, denn uns interessiert nur, wie weit dieses Objekt reicht.

02:03 Von unseren Bewegungsgleichungen wissen wir, dass die Position gleich der jeweiligen Position ist, an der das Objekt sich ursprünglich befand, plus die Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung, mal die Zeit plus 1/2 der Beschleunigung in x-Richtung mal die Zeit im Quadrat, wobei wir vor allem gesagt haben, dass es keine horizontale Beschleunigung gibt.

02:24 Indem wir diese Gleichung umstellen, müssen wir also nur sagen, dass x minus x Null gleich der Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung mal der Zeit ist, also wäre dies unsere Antwort.

02:36 Dann hätten wir dieses Problem so gut wie gelöst.

02:37 Wir haben einfach: x minus x Null ist gleich der Geschwindigkeit mal der Zeit.

02:41 Wir müssen also nur die Geschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren, die das Objekt in der Luft ist, und schon sind wir fertig.

02:46 Wir wissen, wie weit das Objekt geflogen ist.

02:47 Wie Sie sich vielleicht denken können, haben wir hier ein Problem, das darin besteht, dass 00:02:50.255 --> 00:02:54.902 wir keine Aussage über die Zeit haben. Wir haben keine Ahnung, wie lange diese Kanonenkugel durch die Luft fliegt.

02:55 Wir müssen also auf die vertikale Komponente dieses Problems zurückgreifen, um herauszufinden, wie lange der Ball in der Luft ist, bevor wir uns wieder der horizontalen Komponente dieses Problems zuwenden 00:03:04.169 --> 00:03:06.570 und mithilfe der Zeit lösen können. Das wollen wir jetzt tun.

03:07 In vertikaler Richtung können wir eine Reihe von Dingen sagen. Beginnen wir also zum Beispiel mit der Erfassung uns schon bekannter Daten.

03:14 Wir wissen, dass die Ausgangsposition in vertikaler Richtung Null ist, denn wir werden eine Momentaufnahme mit unserer Kugel machen, die hier beginnt und hier endet.

03:21 Die vertikale Position dieser Kugel ist also anfangs Null und die vertikale Position der Kugel schließlich ist ebenfalls Null, da sie sich auf dem Boden befindet und somit keine vertikale Höhe hat.

03:31 Wir kennen also die Anfangs- und Endposition des Balles.

03:35 Wir wissen auch, dass die Geschwindigkeit der Kugel in y-Richtung der Geschwindigkeit mal dem Sinus von Theta entspricht und daher können wir einige Informationen in unsere Bewegungsgleichungen einfügen.

03:47 Unsere Geschwindigkeitsgleichung würde also zum Beispiel besagen, dass die Endgeschwindigkeit unserer Kanonenkugel gleich der Anfangsgeschwindigkeit plus der Beschleunigung mal der Zeit ist.

03:57 Wiederum mithilfe unserer Bewegungsgleichungen wissen wir, dass dies die Anfangsgeschwindigkeit minus g mal die Zeit ist.

04:05 Aber bei dieser Gleichung, da wir eigentlich nicht wissen, was die Endgeschwindigkeit ist, könnten wir ein Symmetrieargument verwenden und sagen, dass die Anfangsgeschwindigkeit nach oben die gleiche, aber entgegengesetzt sein wird wie die Endgeschwindigkeit nach unten, sofern wir alles ignorieren, was unsere Geschwindigkeit beeinträchtigen könnte.

04:20 Aber eigentlich wissen wir das nicht, und es könnte schwierig sein, in einer Prüfung zu versuchen, sich an ein solches Symmetrieargument zu erinnern.

04:24 Versuchen wir also, diese erste Gleichung nicht zu verwenden, obwohl man das, was ich gerade beschrieben habe, auch machen könnte.

04:29 Lassen Sie uns stattdessen unsere vollständige Positionsgleichung verwenden, bei der die Endposition der Anfangsposition entspricht plus Ihre Geschwindigkeit in y-Richtung mal Zeit plus 1/2 der Beschleunigung mal die Zeit im Quadrat, und wir wollen sehen, ob wir stattdessen diese Gleichung verwenden können.

04:44 Wie Sie sehen können, wissen wir, dass die Endposition Null ist, wenn wir unsere bekannten und unbekannten Daten zusammenfassen.

04:49 Wir wissen, dass die Ausgangsposition Null ist. Wir wissen, was die Geschwindigkeit ist und wir kennen die Anfangsgeschwindigkeit und wir wissen, wie hoch die Beschleunigung ist, was bedeutet, dass die einzige Variable in dieser Gleichung, die wir nicht kennen, die Zeit ist.

04:59 Das ist perfekt für uns, weil wir die Zeit nutzen wollen, um den horizontalen Teil zu lösen.

05:04 Schauen wir uns also an, was uns diese Gleichung liefert.

05:06 Wir wissen, dass die Endposition Null ist.

05:09 Wir können diese Gleichung also umstellen und sagen, dass 1/2 a t zum Quadrat gleich minus abzüglich der von beiden Seiten subtrahierten Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung mal Zeit ist.

05:22 Dividiert man beide Seiten durch die Zeit, so ergibt sich 1/2 a mal t gleich minus der Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung und wir können die Zeit ermitteln, indem wir beide Seiten mit 2 multiplizieren und durch a dividieren, sodass die Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung minus 2 ist, geteilt durch die Beschleunigung, die wiederum minus g ist, wodurch die Minuszeichen aufgehoben werden.

05:42 Jetzt haben wir die 2-fache Geschwindigkeit in y-Richtung über g. Dies ist also unsere Zeit.

05:47 Das ist großartig, denn wir kennen alle diese Variablen und haben die Zeit ermittelt, was bedeutet, dass wir dies wieder in unsere horizontale Gleichung einsetzen können. Wenn wir das tun, sind wir fast fertig.

05:56 Wir haben festgestellt, dass der Abstand x minus x Null gleich der Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung mal dieser Zeitvariablen ist, die wir gerade mit Hilfe der vertikalen Gleichungen gelöst haben, 2v Null y durch g. Wir setzen also 2v Null y durch g ein und jetzt können wir unsere Variablen einsetzen und sind mit diesem Problem fertig, indem wir dies einfach einsetzen.

06:19 Wir haben also 2 mal Geschwindigkeit in x-Richtung und Geschwindigkeit in y-Richtung geteilt durch g.

06:28 Und das ist gleich 2 mal – Und wir haben die Geschwindigkeit in der x-Richtung zunächst gelöst als Kosinus von Theta und die Geschwindigkeit in y-Richtung ist der Sinus von Theta – also erhalten wir 2 mal v zum Quadrat, und wir haben einen Sinus von Theta und einen Kosinus von Theta und diese werden alle durch g geteilt und dann müssen wir nur noch die Zahlen einsetzen, um das Problem zu lösen.

06:49 Die Horizontale und die Vertikale halten wir getrennt. Wir haben also 2 mal – uns wurde eine Geschwindigkeit von 100 Metern pro Sekunde zum Quadrat vorgegeben – und dann haben wir Sinus von Theta und Kosinus von Theta.

07:00 Jetzt müssen wir ein wenig Trigonometrie verwenden und diese Winkel genauer ansehen und ich empfehle Ihnen, das auch zu tun, zumindest wenn wir diese Folie hier zeigen.

07:06 Sinus von 45 entspricht der Quadratwurzel von 2 durch 2.

07:10 Und es stellt sich heraus, dass das gleich Kosinus von 45 ist, bei 45 Grad sind Sinus und Kosinus gleich.

07:15 Und dann haben wir noch den Wert von g. Wie ich bereits sagte, ist g gleich 9,8 Meter pro Sekunde zum Quadrat.

07:24 Was ich in den meisten dieser Vorlesungen tun werde ist, eine aufgerundete Zahl für den Wert g anzunehmen, und zwar 10. Dafür gibt es zwei Gründe: Wenn ich das mache, werde ich weniger Zeit damit verbringen meine Berechnungen zu variieren, die für dieses Problem relevant sind.

07:40 Aber der zweite und wichtigere Grund ist, dass man bei Problemen wie diesen, bei jeder Prüfung, die Sie im Bereich Physik ablegen, in der Lage sein sollten, schnell Näherungswerte zu finden.

07:50 Denn so können Sie Probleme schnell identifizieren und schnell herausfinden, welche Antwort nahe dran ist und wenn Sie die zusätzliche Genauigkeit benötigen, können Sie jederzeit zurückgehen und den genaueren Wert von 9,8 eingeben, wenn Sie möchten.

08:01 Wir nehmen also an, dass g hier ungefähr 10 ist.

08:06 Man setzt also diese Werte ein und erkennt, dass die Quadratwurzel von 2 durch 2 zum Quadrat steht, das ist einfach 2 durch 4 oder 1/2, dann beenden wir dieses Problem, indem wir den Sinus von Theta, die Quadratwurzel von 2 durch 2, einsetzen.

08:24 Der Kosinus von Theta ist auch die Quadratwurzel von zwei durch zwei. Also multipliziert man sie miteinander, und wir quadrieren den Wert und erhalten 1/2 und dann teilen wir ihn durch diesen Wert von zehn.

08:32 Also die 2 hier, wir heben diese 1/2 hier auf. Wir haben eine Hundert zum Quadrat, was uns vier Nullen gibt geteilt durch 1 Null ergibt 3 Nullen, und so kann man sich die Dinge noch einmal in wissenschaftlicher Notation schnell vorstellen, und wir erhalten eine endgültige Antwort von 1000 Metern als Reichweite unseres Objekts.