Poiseuille's Law

00:01 Das bringt uns zum Poiseuille'schen Gesetz. Das Poiseuille'sche Gesetz besagt, dass wir einen Ausdruck für den Widerstand in einem Kreislauf schreiben können, wenn wir einige grundlegende Annahmen über diesen Kreislauf machen. Wir werden über diese Annahmen in einem Moment sprechen. Zunächst aber sagt uns diese Gleichung, dass der Widerstand in einem Kreislauf gleich 8-mal μ ist, was ein Maß für die Viskosität der Flüssigkeit ist. Blut ist nicht komplett nicht-viskos, es hat eine gewisse Viskosität an sich. Wenn wir also über ein echtes System sprechen wollen, müssen wir damit beginnen an die Viskosität einer Flüssigkeit mal der Länge des Gefäßes, durch das das Blut fließt geteilt durch das π-fache des Radius Ihres Gefäßes hoch 4 zu denken. Ausgehend von dem Kreislaufgesetz können wir nun noch eine weitere Sache tun, da wir nun eine Definition für den Widerstand haben, und zwar diesen Ausdruck, den wir gerade für den Widerstand gefunden haben, in das Kreislaufgesetz einsetzen und die Strömung umschreiben als Verhältnis des Drucks geteilt durch den Widerstand unter Verwendung des Widerstands, den wir hier gerade geschrieben haben. Wie ich schon sagte, haben wir beim Schreiben dieses Widerstands einige Annahmen getroffen.

01:05 Sie gelten nicht immer für jede Flüssigkeitsströmung. Eine dieser Annahmen ist, dass es sich um eine laminare Strömung handelt.

01:12 Wir sprechen also immer noch nicht von einer Turbulenz oder einer Strömung, die irgendwie herumwirbelt.

01:17 Wir haben auch angenommen, dass wir einen Zylinder mit konstantem Querschnitt, also eine sehr einfache Art von Rohr, wie ein Blutgefäß, ohne irgendwelche Verunreinigungen oder seltsame Formen haben. Schließlich haben wir nicht berücksichtigt, dass in dieser Gleichung nichts über die Höhe steht, zum Beispiel um über die potenzielle Gravitationsenergie zu sprechen.

01:34 In dieser Gleichung müssen wir das also nicht berücksichtigen.

01:39 Es ist eine komplizierte Gleichung. In der Regel ist es nicht erforderlich, dass Sie die ganze Gleichung mit all ihren Feinheiten auswendig lernen.

01:45 Aber es gibt ein paar wichtige Dinge, die man sich beim endgültigen Ausdruck merken sollte, den wir für den Flüssigkeitsstrom gefunden haben. Eine davon ist, dass die Strömung, Q, vom Radius Ihres Gefäßes in der 4. Potenz abhängt. Zweitens hängt es von 1 geteilt durch der Länge Ihres Gefäßes ab, das heißt, wenn Sie die Länge Ihres Gefäßes verdoppeln, haben Sie die Hälfte des Volumenstroms, wenn alles andere im System gleich bleibt. Schließlich hängt der Flüssigkeitsstrom proportional von der Größe der Druckdifferenz ab, die Sie auf die Flüssigkeit ausüben. Wenn also eine Pumpe in Ihrem System, zum Beispiel das Herz, den Druck verdoppelt, den es auf das System ausübt und alles andere gleich bleibt, würde sich auch der Flüssigkeitsdurchfluss aus diesem System verdoppeln.

02:26 Schauen wir uns nun ein Beispiel an, wie wir das Poiseuille'sche Gesetz anwenden könnten. In diesem Beispiel werden wir gefragt: Wenn wir einen blockierten Luftweg haben, der jetzt einen effektiven Radius von der Hälfte seines ursprünglichen Wertes hat, wie viel Druck müssen wir jetzt anwenden, wenn wir immer noch den gleichen Luftstrom durch den blockierten Atemweg bekommen wollen? Vergessen Sie nicht, wie wir bereits erwähnt haben, dass Luft selbst auch eine Flüssigkeit ist, die vielen der gleichen Gesetze folgt.

02:49 Wenden Sie also das Gesetz von Poiseuille an und versuchen Sie, eine Frage wie diese zu lösen, indem Sie sich an die von uns eingeführten Proportionalitätsgesetze erinnern, ohne unbedingt auf die vollständige Gleichung mit all ihren Variablen zurückgreifen zu müssen.

03:00 Versuchen Sie das mal. Wenn Sie es ausprobiert haben, sah es hoffentlich ungefähr so aus.

03:05 Aus dem Poiseuille'schen Gesetz wissen wir, dass der Widerstand in einem Stromkreis proportional ist zu 1 geteilt durch den Radius dieses speziellen Gefäßes, was auch immer es war, zur 4. Potenz. Was dies sein wird, wenn wir den Radius haben, wird jetzt 1 geteilt durch ½ des ursprünglichen Radius, auch in der 4. Potenz sein. Dies ist gleich 1 durch 16 mal dem ursprünglichen Radius hoch 4. Vergessen Sie nicht, dass es sich um einen Bruch handelt.

03:38 Wir haben also ½ zur 4. Potenz, was 1/16 ist, was bedeutet, dass der Widerstand jetzt 16 geteilt durch r hoch 4, wobei r der ursprüngliche Widerstand ist. Wir können es vielleicht so schreiben, dass wir r-Null als den ursprünglichen Widerstand verwenden, und ½ unseres r-Null als neuen Widerstand. Was wir jetzt sehen können, ist, dass dies 16 sein würde mal die gleiche 1 geteilt durch r Null hoch 4, oder mit anderen Worten, dass unser neuer Widerstand gleich 16 mal dem ursprünglichen Widerstand ist. An dieser Stelle müssen wir nur noch überlegen, was der neue Druck sein müsste. Wir erinnern uns an unser Kreislaufgesetz, das besagt, dass die Änderung des Drucks im System gleich dem Durchfluss durch dieses System mal dem Widerstand in diesem System ist. Aber jetzt haben wir ein neues System mit einem neuen Druck, einem neuen Volumenstrom und einem neuen Widerstand, abgesehen davon, dass wir sagen, dass der Volumenstrom in dieser Aufgabe gleich bleiben soll. Wir möchten also, dass sich dies nicht ändert.

04:35 Wir können diese beiden Gleichungen einfach dividieren und so das Verhältnis ermitteln. Lass uns das tun.

04:40 Wir haben die alte Druckänderung im System. Schreiben wir die neue Druckänderung, als die neue Änderung des Drucks im System, im Verhältnis zur Alten auf. Allein durch die Verwendung dieser Gleichungen, die wir hier haben, ist es jetzt gleich Q mal dem neuen Widerstand geteilt durch das gleiche Q geteilt durch den alten Widerstand. Auch bei dieser Frage geht es darum, was passiert, wenn diese Qs gleich sind.

05:07 Da sie gleich sind, können wir sie aus dem Zähler und Nenner streichen.

05:11 Es handelt sich also nur um das Verhältnis der Widerstände, wobei wir wieder einen ursprünglichen Widerstand hatten, r1, aber dann haben wir ihn auf unseren neuen Widerstand geändert und wir sehen, dass der neue Widerstand, der proportional zu 1 durch r hoch 4 ist, nun gleich 16 mal dem alten Widerstand ist. Der neue Widerstand ist also das 16-fache des alten Widerstands geteilt durch den alten Widerstand. Wir können sehen, dass das Verhältnis der Drücke ebenfalls 16 ist, da sie proportional sind.

05:41 Wir sehen also, dass der neue Druck, den Ihr System ausüben muss, nicht nur doppelt so hoch ist, wie der alten Druck, wenn Sie den Radius dieser Atemwege haben, sondern er ist eigentlich das 16-fache des ursprünglichen Drucks.

05:53 Sie sehen also, wenn wir mit Flüssigkeiten zu tun haben, müssen wir sehr vorsichtig sein, denn manchmal, wenn man den halben Radius eines Atemweges hat, wie wir hier, dann ist die Menge des Drucks, die Sie anwenden müssen, nicht unbedingt einfach die doppelte Menge an Druck. Wenn Sie Widerstand in etwas realistischere Kreisläufe einführen, können Sie sich gegenseitig verstärkende Effekte erzielen, weil die Luft durch einen viel engeren Kanal strömen muss. Wir können also sehen, dass die Menge an Druck, die Sie aufbringen müssten, welche bei Ihren Atemwegen von der Kraft Ihrer Lungen kommen würde, sogar für eine relativ bescheidene Veränderung in der Größe der Atemwege, durch die die Luft strömt, ziemlich dramatisch zunehmen muss.