Pendulums

00:01 Das nächste Objekt, das wir besprechen werden, das ebenfalls eine periodische Bewegung ausführt, ist ein Pendel.

00:05 Wenn wir also ein Objekt wie dieses haben, vielleicht an einer Schnur oder einer Stange, etwas Unbiegsamerem, aufgehängt, - Wir müssen uns also keine Sorgen machen, dass es sich verbiegt oder so etwas. - dann würde dieses Pendel hin und her schwingen, womit wir wiederum eine periodische Bewegung hätten.

00:19 Es wird dies tun, solange wir auch hier davon ausgehen, dass nichts verloren geht, durch Reibung, Hitze oder Ähnliches.

00:25 Was wir hier zu beschreiben versuchen, ist die Kraft, die das Pendel spürt, in der gleichen Weise, wie wir die Federkraft beschrieben haben, mit dem Hookeschen Gesetz, das versucht, das Objekt in seine Ruhelage zurückzuversetzen.

00:38 Beim Gesetz der Feder, hatten wir den Fall, dass der Betrag der Kraft abhängig von der Entfernung zu der Ruhelage war, davon, wie weit man sie ausgelenkt hatte.

00:46 Wir haben also gesehen, dass F gleich minus k (im Deutschen meist D statt k) multipliziert mit x. - x entspricht dabei der Entfernung von der Ruhelage. - Wenn du sie doppelt so weit auslenkst, verdoppelt sich die Kraft und so weiter.

00:56 Wir werden also versuchen, die Kraft, welche auf das Pendel wirkt, auf die gleiche Weise aufzuschreiben, und das sieht in etwa so aus.

01:02 Wir könnten die Gravitationsenergie oder eher die Gravitationskraft, welche die Masse nach unten zieht, notieren, mit Hilfe einer sehr typischen Anwendung des Newtonschen Gesetzes.

01:11 Wir haben also m mal g, das Objekt nach unten ziehend, und so könnten wir versuchen, den Betrag von m multipliziert mit g zu bestimmen, welcher in Richtung der Bewegung wirkt.

01:19 In dem Beispiel mit der Feder hatten wir also eine Kraft, welche, wenn wir unser Objekt in der Bewegungsrichtung auslenken würden, versuchen würde, es wieder in die Ruhelage zu bringen, und die Kraft wirkte somit in der gleichen Richtung wie die Bewegung.

01:29 Wir müssen also versuchen, hier das Gleiche zu tun.

01:31 Da das Pendel schwingt, wollen wir den Betrag der Gravitationskraft ermitteln, der in die Schwingungsrichtung zeigt. Mit Hilfe von einfacher Trigonometrie können wir genau sehen, wie groß dieser wäre.

01:41 Wir hätten m mal g mal der Sinus des Winkels, wobei der Winkel dem Winkel des Pendels mit einer Senkrechten hier entspricht.

01:47 Denke nicht zu viel darüber nach, wie man diesen Winkel hier genau bestimmen könnte.

01:51 Wir sollten die nächste Annahme, die ich machen werde, als rein gedanklich verstehen.

01:55 Die Annahme, von der wir hier ausgehen, ist, dass dieser Winkel, um den es hier geht, ein sehr kleiner Winkel ist, und das ist, wieder gedanklich gesehen, der wichtigste Punkt in Bezug auf die periodische Bewegung des Pendels.

02:07 Bei kleinen Winkeln, können wir das Pendel nicht sehr weit auslenken, also nicht auf etwa 90 Grad oder etwas in diesem Bereich, es muss eine kleine, wenig ausgeprägte Auslenkung sein.

02:14 Lassen wir es dann los, wird es schwingen.

02:17 Wenn dieser Winkel klein ist, es stellt sich mathematisch betrachtet heraus, dass der Sinus eines kleinen Winkels ungefähr dem Winkel selbst entspricht, und damit haben wir die Annahme, die oft gemacht wird.

02:27 Du brauchst nicht zu wissen, wie man zu dieser Annahme kommt, oder zu wissen, wie man ableitet, dass der Sinus eines kleinen Winkels ungefähr dem Winkel selbst entspricht.

02:38 Du solltest dir jedoch darüber im Klaren sein, wie diese Annäherung zustande kommt, oder dir der Tatsache bewusst sein, dass diese Annäherung vorgenommen wird, und der Tatsache, dass diese Gleichung für die periodische Bewegung eines Pendels nur für kleine Winkel gilt.

02:49 Wenn wir das also tun, haben wir eine Kraft in Bewegungsrichtung, die gleich der Masse mal g - also eine Kraft - multipliziert mit dem Winkel Theta, so dass man dies mit der Formel für die Federkraft vergleichen kann.

03:02 Hier haben wir eine wichtige Gleichung, aber es ist vielleicht nicht sofort ersichtlich, warum sie wichtig ist.

03:06 Denken wir also darüber nach.

03:07 Diese Gleichung ist m mal g mal Theta, der Entfernung von der Ruhelage.

03:15 Aber genau das Gleiche war bei der Federkraft der Fall, F war gleich minus k mal x, der Entfernung, in der du dich befunden hast.

03:22 Und so ist diese Kraft, die wir hier beschrieben haben, dieses m mal g mal Theta ist auch etwas, das man eine restaurative Kraft nennen könnte.

03:28 Die Schwerkraft versucht immer, das Pendel genau in seine Ruhelage zurückfallen zu lassen und daher sind diese Kräfte, die Pendelkraft und die Federkraft, sehr vergleichbar.

03:36 Die Gleichung ist von der Form her genau gleich, Etwas multipliziert mit der Auslenkung aus der Ruhelage, und aus diesem Grund haben wir auch eine entsprechende Formel für die Frequenz und die Periodendauer des Pendels, die hier mit etwas anderen Parametern beschrieben werden, als wir es bei der Feder hatten.

03:52 In diesem Fall ist die Frequenz 1 geteilt durch 2Pi multipliziert mit der Quadratwurzel von g, der Fallbeschleunigung, geteilt durch L, wobei L die Länge des Pendels ist, und dann wird die Periodendauer 1 geteilt durch Frequenz sein.

04:05 Und auch hier wieder brauchst du dir nicht immer beide Gleichungen zu merken, für die Frequenz und den die Periodendauer, da die eine immer dem Kehrwert der anderen entspricht.

04:13 Es gibt noch eine letzte wichtige Sache über das Pendel zu besprechen.

04:15 Du siehst, dass diese Gleichung nicht von der Masse des Objekts am Pendel abhängig ist.

04:21 Dieser Umstand wurde eigentlich schon vor langer Zeit entdeckt, dass man bei einer kleinen Schwingung jedes beliebige Objekt am Ende des Pendels befestigen kann, egal wie groß oder wie klein, und man die gleiche Frequenz der Bewegung hätte.

04:33 Es würde sich einfach immer wieder gleich verhalten.

04:36 Das ist ein etwas überraschender Umstand.

04:37 Wir können auch hier den Energieerhaltungssatz anwenden, wie wir es bei der Feder gemacht haben.

04:44 Wir könnten die Energie am Punkt der maximalen Auslenkung wieder gleichsetzen, mit der Energie am tiefsten Punkt der Bewegung und genau die gleiche Art von Analyse durchführen, durch Betrachtung der kinetischen und potentiellen Energie.

04:53 Wenn wir das tun, sehen wir, dass die Energie an der Spitze der Bewegung, bevor wir loslassen, nur der potentielle Gravitationsenergie entspricht, also der Energie in einer bestimmten Höhe, h.

05:02 Wenn es sich am tiefsten Punkt der Schwingung befindet, haben wir keine potentielle Energie mehr, sondern nur kinetische Energie, und wir können wieder die Gleichung für die kinetische Energie aufschreiben.

05:11 Damit ist unsere Vorlesung zur Einführung in periodische Bewegungen abgeschlossen.

05:16 Wir haben über einige der wichtigsten Variablen, mit denen Sie vertraut sein müssen, gesprochen und darüber, wie Wellen funktionieren und wie wir diese Variablen messen und miteinander vergleichen können, und dann haben wir über etwas gesprochen, das in Bezug auf die Energieübertragung nicht direkt einem Wellenphänomen entspricht, sondern einem periodischen Bewegungsphänomen, welches auf viele der gleichen Grundsätze zurückgreift, die wir besprochen haben, als wir über Mechanik und die Newtonschen Gesetze sprachen.

05:36 Damit sind wir nun in der Lage, über die nachfolgende Punkte, einige spezifischere Beispiele für Wellen, darunter Schall und Licht, zu sprechen.

05:42 Danke fürs Zuhören.