Lorentz Force

00:01 Jetzt haben wir eine Vorstellung davon, wie Magnetfelder funktionieren.

00:03 Wir werden besprechen, was mit einer elektrischen Ladung in Anwesenheit eines Magnetfeldes passiert.

00:09 Nehmen wir an, wir haben eine Ladung wie diese.

00:12 Sie hat eine gewisse Ladung, q, und bewegt sich mit einer gewissen Geschwindigkeit, v.

00:16 Und dieses Feld aus blauen Punkten, das wir hier haben, ist eigentlich ein Magnetfeld, das aus der Seite heraus zeigt.

00:21 Und statt sich vorzustellen, das Magnetfeld sei nur dort vorhanden, wo die Punkte sind, solltest du dir vorstellen, wie das Magnetfeld den gesamten Raum durchdringt und, wie schon gesagt, aus der Seite herauskommt.

00:31 Was mit einem Magnetfeld passiert ist genau, weil das Magnetfeld durch bewegte Ladungen erzeugt wird.

00:39 Ladungen werden nur durch ein Magnetfeld beeinflusst, wenn sie in Bewegung sind.

00:44 Wir sagen also, dass bewegte Ladungen eine Kraft von Magnetfeldern erfahren.

00:48 Der Wert dieser Kraft, die sie erfahren, entspricht dem Wert der Ladung, die sich durch das Feld bewegt, multipliziert mit seiner Geschwindigkeit, als ein mit dem Magnetfeld B gekreuzter Vektor.

01:01 Dieses Kreuzprodukt kann ziemlich kompliziert erscheinen.

01:05 Daher werden wir also die Größe der Kraft und die Richtung der Kraft getrennt bestimmen.

01:12 Das Kreuzprodukt soll uns nur sagen, in welchem Ausmaß die Geschwindigkeit und das Magnetfeld senkrecht zueinander stehen, als die beiden Ausdrücke, die hier gekreuzt werden.

01:22 Auch wenn wir nicht in die gesamte Mathematik einsteigen werden, ist das Wichtigste, was man über dieses Kreuzprodukt wissen sollte, dass immer dann, wenn zwei Vektoren parallel sind, das Kreuzprodukt Null beträgt.

01:31 Immer, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen, wird das Kreuzprodukt dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren entsprechen.

01:39 Aber zur Vereinfachung, werden wir die Größe dieses Ausdrucks getrennt von seiner Richtung ermitteln, die wir ebenfalls herausfinden werden.

01:47 Betrachten wir also zunächst einmal das Ausmaß der Kraft des Magnetfeldes.

01:53 Wenn du ein geladenes q, wie dieses, hast und es sich mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld bewegt und dass das Magnetfeld einen Winkel Theta mit der Geschwindigkeit bildet.

02:02 Anstatt sich nun darüber Gedanken zu machen, wie man das Kreuzprodukt berechnet, können wir die Größe der Kraft berechnen, indem wir die Ladung q mal ihre Geschwindigkeit v, mal die Stärke des Magnetfeldes B und dann mal den Sinus des Winkels von Theta multiplizieren.

02:17 Der Grund, warum wir den Sinus von Theta verwenden, ist derselbe, aus dem wir ihn verwenden, wenn wir über das Drehmoment sprechen, wir wollen nur eine senkrechte Komponente.

02:25 So ist zum Beispiel Theta gleich Null, dann bedeutet das, dass die Geschwindigkeit und das Magnetfeld in dieselbe Richtung zeigen und wir keine Kraft von diesem Magnetfeld erhalten.

02:34 Wenn Theta andererseits 90° beträgt, wenn also ein rechter Winkel zwischen der Geschwindigkeit und dem Magnetfeld besteht, erhalten wir einfach q mal v mal B ohne Abschwächung oder einen abschwächenden Faktor aus dem Sinus von Theta.

02:48 Zweitens: Jetzt, wo wir wissen, wie man die Größe der Kraft berechnet, können wir auch die Richtung dieser Kraft berechnen.

02:55 Leider müssen wir wieder einmal unsere Rechte-Hand-Regel benutzen.

02:58 Die Art und Weise, wie du die Richtung der Kraft herausfindest, wenn du die Rechte-Hand-Regel benutzt, ist, die Finger in Richtung der Geschwindigkeit zu halten und dann darauf zu achten, dass deine Handfläche in Richtung des Magnetfeldes weist, in diesem Fall aus der Seite heraus.

03:12 Und wenn du das tust, zeigt dein Daumen in die Richtung der Kraft, die dein Teilchen erfahren wird.

03:19 Versuche es also einmal selbst.

03:20 Ich weiß, dass es ein bisschen schwierig ist, sich das vorzustellen und darüber nachzudenken, aber beachte diese Regeln und überprüfe, dass dein Ergebnis auch eine Kraft ist, die nach unten gerichtet ist.

03:27 Das wirklich Interessante dabei ist, dass dein Teilchen bei seiner Bewegung diese Kraft nach unten erfährt, die seine Flugbahn krümmt, und dies auch die Richtung seiner Geschwindigkeit ändert.

03:38 Ändert sich jedoch die Richtung der Geschwindigkeit, so ändert sich auch die Richtung der Kraft, da wir unsere Rechte-Hand-Regel zu jedem Zeitpunkt der Bewegung neu implementieren müssen.

03:47 Dies bedeutet, dass die Richtung der Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit sein wird, mit der sich unser Teilchen bewegt.

03:54 Wenn wir an unsere früheren Kapitel über Arbeit zurückdenken und dass Arbeit eine Kraft mal eine Strecke ist, wobei die Kraft und die Strecke in dieselbe Richtung zeigen müssen, können wir sehen, dass ein Magnetfeld keine Arbeit verrichten kann.

04:08 Mit anderen Worten: Ein Magnetfeld kann die kinetische Energie eines Teilchens, das sich durch sie hindurch bewegt, nicht ändern.

04:14 Es ändert lediglich die Richtung der Bewegung dieses Teilchens.

04:18 Wir könnten auch in diesem Szenario ein elektrisches Feld einführen, während sich unser Teilchen bewegt, in diesem Fall nach rechts durch die magnetischen und elektrischen Felder.

04:27 Wenn dies der Fall ist, wird das Teilchen eine Kraft aus dem Magnetfeld nach unten erfahren, in Anbetracht der bereits besprochenen Richtungen, und es wird eine elektrische Kraft nach oben erfahren, in der gleichen Richtung, wie das elektrische Feld verläuft.

04:41 In diesem Fall würden wir finden, dass die Gesamtkraft auf dieses Teilchen die Summe der beiden Kräfte beträgt, der elektrischen Kraft, q mal E, die wir in früheren Kapiteln besprochen haben, sowie der magnetische, Kraft, deren Wert q mal v mal B ist, wie wir gesehen haben.

04:56 Und wenn du diese beiden zusammen zählst, solltest du immer darauf achten, dass du die Richtungen beachtest.

05:00 So zum Beispiel, wie in diesem Bild hier, wenn wir dieses spezielle Beispiel verwenden würden hätten wir eine magnetische Kraft, die in eine Richtung zeigt, während aber die elektrische Kraft ist in die andere Richtung gerichtet ist und sie würden sich negativ addieren, anstatt sich einfach zu summieren.

05:13 Diese Gesamtkraft, die eine Ladung erfährt, wenn sie sich durch ein elektrisches und ein magnetisches Feld bewegt, nennen wir die Lorentzkraft.

05:20 Die Lorentzkraft berücksichtigt also alle elektrischen und magnetischen Kräfte, die eine bewegte Ladung erfahren könnte.

05:28 Es gibt eine sehr interessante Anwendung dieser Lorentzkraft, die Zyklotron genannt wird.

05:34 Dabei wird ein Teilchen durch ein Magnetfeld geschossen.

05:39 Und genau wie wir es besprochen haben, wird eine Kraft wirken, die immer senkrecht zur Bewegungsrichtung unseres geladenen Teilchens steht.

05:46 In diesem Fall wird das Teilchen seine Bahn krümmen und wird immer eine Kraft in Richtung der Mitte erfahren und am Ende wird es sich im Kreis bewegen.

05:54 Damit dieses Teilchen so im Kreis fliegt, wenn es sich durch ein Magnetfeld bewegt, benötigen wir eine Kraft, die, wie wir sie in früheren Kapiteln gesehen haben, gleich mv zum Quadrat über r sein muss, und damit meine ich eine Kraft, die für alles gilt, was sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt.

06:10 Wir kennen aber auch die Stärke der magnetischen Kraft, die auf ein Teilchen wirkt weil wir gerade herausgefunden haben, dass in diesem Fall die Geschwindigkeit und das Magnetfeld senkrecht zueinander stehen.

06:19 Das liegt daran, dass die Geschwindigkeit, wie du hier sehen kannst, genau nach rechts gerichtet ist, und das Magnetfeld aus der Seite heraus wirkt und diese immer senkrecht zueinander stehen werden.

06:28 Die Größe der Magnetkraft ist in diesem Fall also einfach q mal v mal B, die Ladung mal ihre Geschwindigkeit mal die Stärke des Magnetfeldes.

06:37 Da dies die einzige Kraft ist, die das Teilchen in Richtung der Mitte dieser Kreisbahn antreibt, muss der Fall sein, dass diese beiden identisch sind.

06:46 Da die Kraft, die das Teilchen in Richtung des Mittelpunkts der Bahn drückt genau die Kraft ist, die es im Kreis hält.

06:51 Da wir diese beiden gleichgesetzt haben, kommen wir auf mv quadriert über r gleich qvB.

06:57 Dies wird als Zyklotron-Gleichung bezeichnet, denn sie beschreibt genau, wie sich ein Teilchen, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, in einem Magnetfeld verhält.

07:06 Wir können diese Gleichung jedoch etwas vereinfachen, durch Auflösen der Gleichung nach der Geschwindigkeit durch eine schnelle Umstellung, und dann fragen wir uns, wie lange ein Teilchen brauchen würde, um unter diesen Bedingungen eine vollständige Kreisbahn zu durchlaufen.

07:20 Die Zeit, die es braucht, um seine volle Kreisbahn zu durchlaufen ist die Strecke geteilt durch die Geschwindigkeit.

07:26 Denk einfach an die normale Gleichung, die wir alle gewohnt sind, die besagt, dass eine Strecke gleich der Geschwindigkeit mal der Zeit ist.

07:32 Wir wissen also, dass die Zeit gleich der Strecke geteilt durch die Geschwindigkeit ist, was hier zutrifft.

07:39 Da sich das Teilchen in diesem Fall im Kreis bewegt, ist die Strecke der Umfang des Kreises, der 2 mal Pi mal r beträgt.

07:46 Die Geschwindigkeit wird als v angegeben, und wir haben bereits nach dieser Geschwindigkeit aufgelöst in Bezug auf unsere Zyklotron-Gleichung.

07:53 Wir müssen also die Gleichung für die Geschwindigkeit in die Gleichung für die Zeit, die ein Objekt benötigt, um sich auf einer vollen Kreisbahn zu bewegen, einsetzen.

08:00 Und wir haben die so genannte Umlaufdauer.

08:03 Oder mit anderen Worten, wie lange es dauert oder wie viel Zeit in jedem Zyklus verstreicht, in dem sich das Teilchen auf der Kreisbahn bewegt.