Ideal Gas Law

00:01 Nachdem wir nun eine Vorstellung davon haben, wie wir einige der grundlegenden Gesetze ableiten können und wie diese experimentell zustande kommen, sind wir bereit, ein allumfassendes Gesetz abzuleiten, das alle soeben besprochenen Gesetze enthält.

00:14 Und das ist das ideale Gasgesetz.

00:16 Was wir mit dem idealen Gasgesetz machen, ist, die Gesetze zu nehmen, die wir gerade ausgearbeitet haben und die hier stehen.

00:21 Aus diesen experimentellen Ergebnissen ergeben sich bestimmte Proportionalitäten und wir versuchen, alle besprochenen Variablen in eine Gleichung zu packen.

00:28 In diesem Fall könnten wir sagen, dass der Druck mal das Volumen proportional zur Anzahl der Moleküle ist mal die Temperatur Ihres Systems.

00:37 Dies ist zufriedenstellend, wie Sie feststellen können und ich empfehle Ihnen, sich das anzusehen und wirklich darüber nachzudenken und zu sehen, wie das ideale Gasgesetz tatsächlich funktioniert und wie es Ihnen all diese einzelnen Ergebnisse liefert, die wir bereits gefunden haben.

00:51 Wir könnten uns dann fragen, wenn Druck mal Volumen proportional zur Anzahl der Teilchen mal deren Temperatur ist, wie lautet die Proportionalitätskonstante? Mit anderen Worten, ich weiß, dass ich den Druck verdoppeln muss, wenn ich die Zahl mal die Temperatur verdopple.

01:07 Aber ich weiß nicht, wie hoch die tatsächlichen Zahlen sind, daher möchte ich wissen, wie hoch diese Proportionalitätskonstante ist.

01:13 Es stellt sich heraus, und Sie können dies experimentell feststellen, dass diese Proportionalitätskonstante existiert. Sie ist eine Zahl namens R und diese Zahl wird als die universelle Gaskonstante bezeichnet.

01:23 Sie hat einen Wert von etwas mehr als 8 Joule pro Kelvin-Mol und Sie können diese Einheit jederzeit selbst in Augenschein nehmen, um sich zu vergewissern, dass die linke Seite der Gleichung und die rechte Seite der Gleichung die gleichen Einheiten haben.

01:35 Wenn wir einen konstanten Wert angeben, können Sie eine Aufgabe mit dem idealen Gasgesetz lösen.

01:42 Wir haben also noch einmal das ideale Gasgesetz aufgeführt, Druck mal Volumen ist gleich Anzahl mal Gaskonstante mal Temperatur, pV ist gleich nRT.

01:51 In einer Aufgabenstellung sind bestimmte Parameter konstant.

01:54 Bei den meisten Problemstellungen kann man davon ausgehen, dass einige Dinge konstant sind, entweder weil es Ihnen gesagt wird oder weil Sie es selbst ableiten können.

02:00 Man muss nur all diese Konstanten mathematisch zusammenfassen und dann alles, was auf der anderen Seite der Gleichung übrig bleibt, muss erhalten bleiben, weil sie konstant sind.

02:10 Nur um ein konkretes Beispiel zu geben und sicherzustellen, dass es Sinn ergibt: Angenommen, wir hätten ein konstantes Volumen und eine konstante Temperatur in einer bestimmten Aufgabe.

02:19 Wir könnten das ideale Gasgesetz umstellen, damit wir alle unsere Konstanten zusammen haben, in diesem Fall die Temperatur und das Volumen. Die Gaskonstante ist natürlich per Definition eine Konstante, wenn wir also alles zusammenzählen, haben wir so etwas wie das: R mal T geteilt durch das Volumen.

02:37 Alles andere im Gasgesetz, das jetzt nur noch P durch n ist, ist offensichtlich nur mathematisch konstant.

02:45 Das bedeutet, dass P durch n, der Druck durch die Anzahl der Teilchen erhalten bleibt, weil es eine Konstante ist.

02:51 Das bedeutet, bei einer bestimmten Problemstellung können wir den Anfangsdruck und -anzahl in Beziehung zum Enddruck und -anzahl setzen, weil dieses Verhältnis, wie wir gerade gesehen haben, ein konstanter Wert sein muss.

03:03 Es gibt noch eine andere Art, das Gasgesetz zu formulieren.

03:06 Es ist gut, das durchzugehen und zu sehen, woher es kommt und wie es mit dem Gasgesetz zusammenhängt, das wir gerade abgeleitet haben.

03:11 Wenn wir uns die rechte Seite des Gasgesetzes ansehen: Wir können uns diesen Term ansehen, die Anzahl mal das Gas bei einer Konstante.

03:20 Die Zahl in Einheiten, also wenn wir uns die Einheiten davon anschauen, dann haben wir die Anzahl Mol mal die Gaskonstante, die Joule pro Kelvin-Mol ist.

03:29 Anstatt in Mol zu messen, könnten wir stattdessen die Anzahl der Moleküle messen.

03:35 Wenn man also die Einheiten von Mol aufhebt oder in Anzahl der Moleküle umschreibt, könnten wir sagen, dass wir stattdessen die Anzahl der Moleküle haben mal eine neue Konstante, und diese Konstante wird K genannt.

03:45 K ist die Boltzmann-Konstante und hat stattdessen die Einheit Joule pro Kelvin und nicht Joule pro Kelvin-Mol wie bei der universellen Gaskonstante.

03:57 Manchmal wird dies als die mikroskopische Form des idealen Gasgesetzes bezeichnet, denn anstatt Mol zu messen, was wiederum eine sehr große Zahl ist, ist es die Art und Weise, wie man tatsächliche physikalische Größen misst, die so realistisch auch vorkommen.

04:08 Wir messen die Anzahl der Moleküle an sich und somit ist diese mikroskopische Form des idealen Gasgesetzes besser geeignet, wenn wir über bestimmte Wechselwirkungen und die tatsächliche Anzahl der Moleküle sprechen.

04:22 Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Ableitung dieses Gesetzes zu beschreiben.

04:25 Hier ist also noch eine weitere, die Ihnen helfen könnte, sofern das für Sie mehr Sinn ergibt.

04:28 Wir können einfach den Term R mal T betrachten und ihn mit dem Term K mal T vergleichen.

04:34 Auch hier ist der einzige Unterschied, dass wir in einem Fall die Anzahl Mol nehmen und mit Joule pro Mol multiplizieren.

04:40 Und im anderen Fall nehmen wir die Anzahl der Moleküle und multiplizieren sie mit Joule pro Molekül.

04:46 Auch hier erhalten Sie die gleichen Zahlen, alles andere im idealen Gasgesetz ist gleich.

04:51 Es gibt keinen wirklichen Unterschied, wenn Sie eine Aufgabe lösen würden.

04:53 Es ist nur eine andere Art, die Anzahl der Moleküle oder die Anzahl Mol zu messen, in dem System, das Sie haben.