Friction: Example

00:01 Nehmen wir nun unser Beispiel mit der Steigung und wenden es noch einmal an, aber diesmal mit der Reibung.

00:07 Nehmen wir an, Sie haben einen Block, der auf einem Abhang ruht mit einem Haftreibungskoeffizienten von 0,5, den kinetischen Reibungskoeffizienten von 0,3 und Sie wollen den Block in Bewegung bringen.

00:17 Es geht darum, den Block bis zur Schwelle des Gleitens zu bringen.

00:21 In welchem Winkel muss die Rampe angehoben werden? Versuchen Sie, diese Aufgabe selbst zu lösen, und erinnern Sie sich dabei an Ihre trigonometrischen Identitäten.

00:28 Und versuchen Sie den Winkel zu bestimmen, in dem der Block am Hang angehoben werden muss.

00:34 Die Lösung eines solchen Problems besteht wiederum darin, zunächst ein Diagramm zu zeichnen.

00:38 Sie sehen hier die Kräfte, die wir normalerweise einbeziehen, wobei die Gravitationskraft direkt nach unten gerichtet ist.

00:45 Wir haben es schattiert, weil wir es bereits in seine zwei Komponenten zerlegt haben.

00:48 Wie üblich ist die Gravitationskraft die Steigung fg Sinus von Theta nach unten.

00:53 Wir haben die Gravitationskraft in die Steigung fg Kosinus von Theta.

00:56 Und wir haben die Normalkraft, die direkt aus dem Hang drückt, sowie ein Koordinatensystem.

01:00 Wir fügen nun eine weitere Kraft hinzu, nämlich die Reibungskraft und wieder wird die Reibungskraft versuchen, der Bewegung unseres Objekts entgegenzuwirken, wenn das Objekt also den Abhang hinunterrutschen würde, versucht die Reibungskraft, der Bewegung entgegenzuwirken und drückt es den Hang hinauf.

01:15 Die Frage ist, ob wir versuchen können, diesen Block an die Schwelle des Abwärtsgleitens zu bringen? Mit anderen Worten, wir wollen, dass die Beschleunigung an der Steigung genau an der Schwelle von Null liegt, damit diese dann etwas mehr sein kann und damit eine positive Beschleunigung erhält.

01:27 Lassen Sie uns also sehen, ob wir das Problem lösen können.

01:30 Alles was wir tun wollen ist, zunächst das zweite Newtonsche Gesetz aufzuschreiben.

01:35 Schreiben wir es in x-Richtung.

01:37 Die Kräfte in x-Richtung, die Sie sehen, sind fg Sinus von Theta, die nach unten wirken und f der nach oben wirkenden Reibung f-sub-f.

01:47 Unter Beibehaltung unserer Sinuskonvention sieht das wie folgt aus: fg Sinus von Theta minus Reibungskraft.

01:54 Nach dem zweiten Newton'schen Gesetz ist dies gleich der Masse mal dieser Beschleunigung in x-Richtung.

01:59 In y-Richtung werden wir etwas Ähnliches haben, wenn eine Normalkraft nach oben wirkt und dann in negativer y-Richtung, also minus, haben wir fg mal den Kosinus von Theta.

02:13 Und diese ist gleich der Masse mal der Beschleunigung in y-Richtung.

02:18 Das Erste, was Sie bei einem Problem mit einer solchen Neigung tun sollten, ist, wann immer man eine y-Gleichung hat und vor allem, wenn man die Reibung berücksichtigen will, zu erkennen, dass die Beschleunigung in den Hang hinein und aus dem Hang heraus gleich Null ist, denn das Objekt wird nicht von der Piste fliegen und aufgrund der Kräfte wird es nicht in die Oberfläche eindringen.

02:36 So wissen wir, dass das Objekt sich nicht in den Hang hinein oder aus ihm heraus bewegen wird.

02:39 In y-Richtung kann man also sagen, dass die Beschleunigung des Objekts gleich Null ist.

02:43 Berechnen wir nun die Kräfte in x-Richtung.

02:47 Wir haben fg mal den Sinus von Theta minus und jetzt haben wir unsere Reibungskraft, die wir für unsere Reibungskraft einsetzen.

02:59 Zunächst einmal wissen wir, dass sich das Objekt noch nicht bewegt.

03:02 Wir versuchen es an die Schwelle der Bewegung zu bringen, aber es ist noch nicht wirklich ins Rutschen gekommen.

03:05 Wir müssen also eine Haftreibung einfügen.

03:08 Aber was können wir für die Haftreibung einsetzen? Denn auch hier kann die Haftreibung kleiner oder gleich dem mu-sub-s-fachen der Normalkraft sein.

03:15 Für dieses Problem, da wir versuchen, es genau an die Schwelle der Bewegung zu bringen, wissen wir bereits, dass wir die Haftreibung voll ausgeschöpft haben, wir haben es bis an seine Grenzen gebracht, so dass die Gravitationskraft, die das Objekt nach unten zieht und die Reibung, die versucht, diese Kraft zu bekämpfen und das Objekt dort zu halten, wo es ist, genau an ihrem Schwellenwert sind, sodass wir wissen, dass wir anstelle von "kleiner als" oder "gleich" folgendes verwenden können.

03:33 Verwenden Sie das Gleiche wie mu-sub-s mal die Normalkraft, denn auch hier ist es genau an der Grenze, an der die Haftreibung nachlässt. Das sollten wir also nutzen.

03:42 Wir haben die Reibungskraft, die mu-sub-s mal die Normalkraft ist.

03:46 Und das ist gleich Masse mal Beschleunigung in x-Richtung.

03:50 Was ich nun in x-Richtung tun werde, ist ähnlich wie das, was ich gerade in y-Richtung getan habe, aber jetzt wird es aus einem ganz anderen Grund sein. Es ist also wichtig, dies auseinanderzuhalten.

03:59 In der y-Richtung bewegt sich das Objekt weder in den Hang hinein noch aus ihm heraus.

04:04 Für die x-Richtung würde ich auch sagen, dass die Beschleunigung null ist, aber aus einem ganz anderen Grund.

04:09 Dieses Argument der y-Richtung, dass ich gerade vorgebracht habe, wobei die Beschleunigung in oder aus dem Hang heraus Null ist, ist ein sehr allgemeines Argument, das Sie immer wieder verwenden können.

04:16 Jedoch liegt die Beschleunigung in x-Richtung, die ich gleich als Null bezeichnen werde, an einer Besonderheit dieses Problems.

04:23 In diesem Problem werden wir nach dem Schwellenwert gefragt.

04:25 Das Objekt steht kurz davor, nach unten zu rutschen.

04:28 Wenn das stimmt, dann ist die Beschleunigung in x-Richtung, entlang der Steigung, null, weil es sich gleich in Bewegung setzen wird, aber wir interessieren uns nur dafür, welche Kraft ich haben muss, um es genau auf Null zu bringen, denn bei mehr Kraft gerät das Objekt ins Rutschen.

04:41 Wir wollen also nur diese Schwelle erreichen.

04:42 Und wie hoch muss diese Schwelle sein? Wir gehen also davon aus, dass die Beschleunigung in x-Richtung Null ist, aber nur weil wir bei diesem Problem einen Schwellenwert betrachten.

04:53 Dabei zeigt sich, dass fg mal der Sinus von Theta minus mu-sub-s mal fn gleich Null ist.

05:04 Das heißt, ich kann die mu-sub-s fn zu beiden Seiten addieren und diese Kräfte gleichsetzen und erhalte so etwas wie dies.

05:09 Ich erhalte, das fg mal dem Sinus von Theta, gleich mu-sub-s mal fn ist.

05:14 Das ist eine schöne Umschreibung dafür, dass die Schwerkraft, die das Objekt den Hang hinunterzieht, in perfektem Gleichgewicht mit dem Koeffizienten oder der Haftreibung steht, die das Objekt daran hindert, sich den Hang hinunter zu bewegen.

05:23 Wir fragen uns, wie groß diese Schwelle ist und wie groß der Winkel ist, in dem sie liegen muss.

05:26 Welcher Winkel muss theta sein, damit dies gleich wird? Wenn Sie sich diese Gleichung ansehen, stellen Sie fest, dass wir f-sub-g kennen, weil wir mg für die Gravitationskraft einsetzen können.

05:36 Wir kennen mu-sub-s, weil es in der Aufgabe mit 0,5 gegeben ist.

05:41 Wir wollen Theta lösen, also müssen wir das finden, aber was machen wir dann mit dieser normalen Kraft? Wir müssen irgendwie die Normalkraft finden, und das ist der Grund, warum im Reibungsproblem, die y-Richtung in den Hang hinein und aus dem Hang heraus, tatsächlich wichtig wird.

06:00 Verwenden wir also die y-Gleichung, um herauszufinden, wie hoch die Normalkraft sein muss.

06:04 Da wir gesagt haben, dass die Beschleunigungen gleich Null sind, gehen wir zu unseren y-Gleichungen über.

06:08 Wir können die Normalkraft ermitteln, indem wir den Kosinus fg von Theta zu beiden Seiten addieren und wir haben nun einen Ausdruck für die Normalkraft, die wir in die Gleichung für die x-Richtung einsetzen können.

06:19 Daraus ergibt sich, dass fg mal dem Sinus von Theta gleich mu-sub-s mal der Normalkraft ist, die wir gerade aus der y-Gleichung gelöst haben.

06:31 Wir verwenden diese Gleichung also nur, um f-sub-n einzusetzen, was uns fg mal den Kosinus von Theta liefert.

06:41 Dies ist also eine gute Stelle, um eine Pause einzulegen, denn es ist einfacher, wenn man ein solches Problem löst und sich schnell in den Variablen und Gleichungen verliert, die Dinge noch einmal neu zu ordnen.

06:50 Lassen Sie uns also an dieser Stelle noch einmal überdenken, was wir in diesem Problem zu finden versuchen.

06:53 Wir werden nach einem Winkel gefragt, und zwar danach, welchen Winkel wir brauchen, um diesen Hang anzuheben, so dass das Objekt zu gleiten beginnt. Wir suchen also nach Theta.

07:00 Wir möchten diese Gleichung also so umstellen, dass wir Theta, den Winkel, lösen können.

07:06 Als Nächstes werde ich genau das tun, also versuchen, die Gleichung umzustellen und für Theta zu lösen.

07:11 Dazu teile ich beide Seiten durch fg mal den Kosinus von Theta und das kommt uns sehr gelegen, denn so werden wir diesen fgs los.

07:24 Dieser besagt, dass mu-sub-s gleich dem Sinus von Theta geteilt durch den Kosinus von Theta ist, was nach unserer Trigonometrie gerade dem Tangens von Theta entspricht.

07:32 Und das ist in der Tat das berühmte Ergebnis, das im Physikunterricht oft zitiert wird, dass der einzige Faktor, von dem der Neigungswinkel abhängt, der Haftreibungskoeffizient ist. Wenn Sie also den Haftreibungskoeffizienten kennen, wissen Sie genau, in welchem Winkel Sie Ihren Hang anheben müssen, sodass ein Objekt auf dieser Schräge ins Rutschen gerät.

07:51 Bei diesem speziellen Problem können wir tatsächlich herausfinden, welcher Winkel das sein könnte.

07:54 Wir wissen, dass mu-sub-s gleich 0,5 ist.

07:57 Wir wissen also, dass der Tangens von Theta gleich 0,5 ist.

08:02 Und da dies nicht einer unserer speziellen Winkel ist, ist dies etwas, das man in einen Taschenrechner eingeben kann oder das man in einer Prüfung erhält.

08:08 Was Sie tun würden, ist, den Winkel Theta gleich dem sogenannten Arkustangens zu setzen, wobei der inverse Tangens von 0,5 nur eine schicke Art ist, zu sagen, welcher Winkel, wenn ich den Tangens davon nehme, mir 0,5 geben würde, und der Taschenrechner oder etwas anderes wird Ihnen sagen, dass dieser Winkel zufällig etwa 26,570 Grad beträgt.

08:30 Im Allgemeinen ist diese Gleichung hier das Schlüsselergebnis.

08:36 Dabei ist mu-sub-s der Haftreibungskoeffizient gleich dem Tangens von theta.

08:41 Dieses Ergebnis von 26,570 Grad ist nur ein spezielles Ergebnis für dieses Problem.