Flow Rate: Example

00:01 Nehmen wir uns dazu ein Beispiel. Nehmen wir an, Sie haben eine Arteriole mit einem Radius von 30 Mikrometern und eine Fließgeschwindigkeit von 1 Zentimeter pro Sekunde.

00:12 Dann teilt sie sich auf, wenn sie in die verschiedenen Teile des Muskels gelangt und liefert Sauerstoff in 1000 verschiedene Kapillaren, jede mit einem viel kleineren Radius von 10 Mikrometern. Die Frage ist, wie hoch wäre dann die Strömungsgeschwindigkeit in den Kapillaren und wie groß ist das Verhältnis der Durchflussmenge dieser Kapillare im Vergleich zu der Arteriole? Hoffentlich haben Sie das selbst ausprobiert. Ich empfehle auf jeden Fall, eine Pause einzulegen und zu sehen, ob Ihnen eine Antwort hierzu einfällt. Lassen Sie uns loslegen und uns anschauen wie das aussieht. Wenn Sie eine solche Arteriole haben, die einen viel größeren Radius hat und Sie haben die Situation, in der die Flüssigkeit zunächst durch diesen Kanal fließt, der, wie gesagt, einen Radius von 30 Mikrometern hat.

00:59 Dann wird er sich in viele, viele, viele verschiedene Kanäle aufteilen. Jeder einzelne dieser Kanäle wird viel, viel kleiner sein. Das sind alle Ihre Kapillaren. Ihr Blut fließt also im Verlauf durch viele, viele kleinere, Kanäle. Jeder einzelne davon ist also sehr klein und hat in der Tat einen Radius von nur 10 Mikrometern. Wir können die Querschnittsfläche bestimmen, da jede dieser Flächen eigentlich eine zylindrische Fläche ist und wir den Radius nur durch einen Blick auf den Kreis erkennen, diese Querschnittsfläche Ihres Zylinders. Die Fläche dieses Querschnitts ist also π mal der Radius des Gefäßes, egal ob es sich um die Arteriole oder die Kapillaren handelt, zum Quadrat. Das wird also die Fläche sein, die wir bestimmt haben.

01:43 Auch hier gilt, dass die Flussrate Q erhalten bleiben muss. Also muss die Flussrate Q1, die durch die Arteriolen fließt, gleich hoch sein wie Q2, welche die Gesamtdurchflussmenge durch alle Kapillaren wiedergibt. Dies ist also gleich Q2.

01:57 Wir können fortfahren und dies herausschreiben. Wir haben A1V1 ist gleich A2V2. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden und sehen, ob wir auf dieser Grundlage die Geschwindigkeiten ermitteln können. Was uns in diesem ersten Teil der Aufgabe interessiert, ist V2. Wie hoch ist die Geschwindigkeit in den Kapillaren? V2 ist also einfach gleich dem Bruch aus A1 über A2 multipliziert mit V1 als Verhältnis. Wir müssen also nur noch das Verhältnis dieser Fläche berechnen, da wir diese Geschwindigkeit bereits kennen. Setzen wir das mal ein. Wir sehen, dass V2 gleich A1 ist das ist einfach die Querschnittsfläche Ihrer Arteriole, πr1 zum Quadrat geteilt durch A2, das ist die Querschnittsfläche Ihrer Kapillare. Dies ist πr2 zum Quadrat. Jetzt müssen wir das mit V1 multiplizieren.

02:51 Wir können diese πs aufheben. Jetzt haben wir r1 über r2, also müssen wir dies als ein Verhältnis zum Quadrat nehmen.

02:59 Dies ist nur eine Art der Umschreibung, weil es einfacher ist, das Verhältnis zu nehmen, bevor wir die Potenz vornehmen statt danach. Hier haben wir das Verhältnis der Radien, die Radien Ihrer Arteriole und der Kapillaren multipliziert mit der Geschwindigkeit. Setzen wir also unsere Zahlen ein und sehen, was herauskommt.

03:14 Der Radius Ihrer Arteriole beträgt 30 Mikrometer. Und jetzt kommt der Trick. Es mag verlockend sein, einfach zu behaupten, dass der Radius, den wir hier verwenden werden, bei 10-Mikrometer-Radius liegt. Das Problem ist, dass dieser Bereich hier nicht nur die Querschnittsfläche von einer Kapillare ist. In Wirklichkeit haben wir viele, viele, viele Kapillaren.

03:36 Man sagt sogar, dass wir 1000 davon haben. Diese Gleichung der Durchflussmenge hat also einen Vorbehalt, und zwar, dass die Durchflussmenge im gesamten System erhalten bleiben muss. Also der Durchfluss, Q1 ist nicht nur durch eine Kapillare geflossen. Es verteilt sich über alle Kapillaren.

03:51 Bei der Analyse des Flusses Q2 geht es also nicht nur um den Fluss durch eine dieser, sondern um den Fluss durch all diese Kapillaren zusammen. Wir haben also eine viel größere Gesamtquerschnittsfläche. Es gibt also eine Sache, die wir mit dieser Gleichung hier unten tun müssen, und zwar anzugeben, dass A2 sich nicht auf die Querschnittsfläche einer einzigen Kapillare bezieht.

04:09 Es handelt sich dabei um die Querschnittsfläche all dieser Kapillaren zusammen.

04:13 Lassen Sie uns also diese Änderung vornehmen und sicherstellen, dass wir dies physikalisch korrekt notiert haben. Wir haben die Geschwindigkeit v2 ist gleich A1 gegenüber der Gesamtmenge A2, die alle Kapillaren zusammen umfasst. Dies ändert unsere Lösung auf eine sehr wichtige Weise. Dies wird jetzt also durch 1000 geteilt. Jetzt haben wir immer noch diesen Radius r2.

04:30 Dieser Radius beträgt 10 Mikrometer. Setzen wir das mal ein. Das Ganze wird quadriert mit V1 und dann durch 1000 geteilt.

04:41 Also, setzen wir diese Zahlen ein. 30 Mikrometer, die Einheiten heben sich auf, die 0s heben sich auf. Wir haben also einfach 3 zum Quadrat.

04:47 Wir haben, dass V2 äquivalent ist zu 3 zum Quadrat, was das Gleiche ist wie der Bruch aus 9 über 1000 mal V1. In diesem Problem wird uns vorgegeben dass die Geschwindigkeit in den Arteriolen 1 Zentimeter pro Sekunde beträgt. Jetzt können wir also rechnerisch ermitteln dass der Durchfluss durch die Kapillaren nur 9 über 1000 Zentimeter pro Sekunde beträgt.

05:15 Wir sehen also, dass die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit durch Ihre Kapillaren strömt in Wirklichkeit viel, viel niedriger ist, als die Geschwindigkeit, mit der das Blut durch die Arteriolen fließt.

05:25 Das ist sehr wichtig. Dies ist ein cleverer mechanischer Trick Ihres Körpers, eine Arteriole in so viele verschiedene Kapillaren zu spalten, weil durch Aufteilung in so viele Teile nicht nur ein größeres Versorgungsgebiet und ein größeres Volumen erreicht werden kann, sondern auch eine höhere Gesamtquerschnittsfläche.

05:41 Weiterhin kann die Fließgeschwindigkeit einer Flüssigkeit stark verlangsamt werden, bei Erhaltung einer kontinuierlichen Flussrate. Nur durch diese niedrige Fließgeschwindigkeit ist, es dem Blut möglich Sauerstoff zu übertragen und Nährstoffe aufzunehmen und abzugeben und auch alles andere zu erledigen, was es an einer bestimmten Blutstelle erledigen muss. Wenn es dann zu einer bestimmten Vene zurückkommt, die eine viel größere Querschnittsfläche, kann es wieder viel schneller fließen, um im Herzen wieder Sauerstoff zu tanken und wieder zu verteilen und wieder denselben Prozess zu wiederholen. Wir haben noch einen weiteren Teil in diesem Problem, nämlich dass wir wissen möchten, wie das Verhältnis der Flussrate in einer Kapillare zu dem der Arteriolen ist. Also, lassen Sie uns das schnell machen.

06:15 Wir würden gerne wissen, wie das Verhältnis der Durchflussraten ist. Wir könnten dies als Q1 über Q2 schreiben oder Q2 über Q1, wenn wir das Verhältnis zwischen dem Wert in den Kapillaren und dem in den Arteriolen ermitteln wollten.

06:33 Da die Durchflussmenge erhalten bleibt, sind Q2 und Q1 immer noch gleich groß. Daher ist das Verhältnis der Durchflussmenge immer noch nur 1. Diese unterscheiden sich nicht voneinander. Das wäre also eine Art Trickfrage.

06:46 Man könnte Sie bitten, eine bestimmte Geschwindigkeit zu ermitteln. Man könnte Sie bitten, zu ermitteln, wie hoch der Unterschied in der Geschwindigkeit ist. Dann wird man Sie vielleicht bitten, das Verhältnis der Durchflussmenge zu ermitteln. Man könnte Sie austricksen "Oh, der Fluss ist in den Kapillaren viel langsamer". Es ist wahr, dass der Fluss durch die Kapillaren langsamer ist. Aber die Durchflussrate, die Gesamtmenge der Flüssigkeit, die sich bewegt ist immer noch die gleiche, egal ob man sich in den Kapillaren oder den Arteriolen befindet, da es sich um ein geschlossenes System handelt.

07:08 Auch hier gilt, dass die Durchflussmenge in einem bestimmten geschlossenen System erhalten bleiben muss.