Elastic Collision: Example

00:01 Als Beispiel für einen elastischen Aufprall, bei dem zwei Objekte voneinander abprallen, können wir ein 200 kg schweren Autoscooter nehmen, der – das ist unsere elastische Kollision für Sie – mit einer Geschwindigkeit von 30 Metern pro Sekunde mit einem stehenden 400 kg schweren Autoscooter kollidiert und an diesem abprallt (elastische Kollision).

00:17 Nach dem Aufprall würden wir gerne die Geschwindigkeit dieser beiden Autos berechnen.

00:21 Dies ist also ein klassischer Fall, bei dem wir uns vorher die Variablen ansehen und versuchen, die physikalische Anschauung zu nutzen, um vorauszusagen, was bei einer Kollision der beiden Objekte in der Zukunft passieren wird.

00:29 Ich möchte gerne, dass Sie diesem Problem auf den Grund gehen Aber seien Sie sorgfältig. Es könnte ein langes Problem sein, ein langwieriges Problem, wenn wir uns damit beschäftigen, wie wir diese Gleichung lösen können, die aus unserer Analyse der Kollision resultiert.

00:41 Probieren Sie es also aus und danach werden wir es hier auch zusammen probieren.

00:45 Als Erstes werden wir das Problem angehen, indem Sie das gesamte Szenario schriftlich festhalten.

00:49 Bevor wir uns darauf stürzen, empfehle ich allerdings, da dies eines der längsten Beispiele sein könnte, die wir tatsächlich machen, sich eine Tasse Kaffee zu holen, hinzusetzen und vorbereitet zu sein und danach zu beobachten, wie wir beide die Gleichungen ableiten, die wir lösen müssen und dann, wie wir diese Gleichungen lösen.

01:03 Wir betrachten dies als zwei getrennte Prozesse.

01:06 Lassen Sie uns also zunächst aufschreiben, was in diesem Fall passiert.

01:10 Wir haben ein Objekt.

01:11 Es geht mit einiger Geschwindigkeit voran, in diesem Fall 30 Meter pro Sekunde und kollidiert mit einem stehenden Objekt.

01:17 Das erste Objekt hat also eine Masse von 200 während das stationäre Objekt eine Masse von 400 hat.

01:24 Ich schreibe alles in SI-Einheiten - Kilogramm und Meter pro Sekunde.

01:30 Dies sind also unsere Objekte und unsere Situation.

01:32 Wir haben zwei unterschiedlichen Massen.

01:38 Die Geschwindigkeit des ersten Objektes ist 30 Meter pro Sekunde und die Geschwindigkeit des zweiten Objekts ist zunächst 0.

01:46 Dies ist eine wichtige Feststellung.

01:48 Schreiben wir also zunächst unser Impuls (Momentum) und unsere Energie auf.

01:52 Anfangs war unser Impuls gleich M1V1- hier ist alles nur in X-Richtung.

01:56 Wir schreiben also einfach die X-Komponente unseres Impulses, da wir uns nur mit einer Dimension befassen.

02:01 Der Impuls des zweiten Wagens ist M2V2.

02:09 Das ist also unser anfänglicher Schwung.

02:11 Ich schreibe also einfach das erste "i" hierhin.

02:14 Was wir nun tun können, ist den Endimpuls auf zu schreiben: Px final ist gleich...

02:21 – was allerdings noch keine endgültige Version dieses Szenarios ist.

02:24 Nach der Kollision haben Sie diese beiden Objekte, die sich mit ihren eigenen Geschwindigkeiten bewegen, die wir nicht kennen.

02:29 Wir werden sie als Geschwindigkeiten V1 prime und V2 prime bezeichnen, da wir nicht wissen, wie hoch diese Geschwindigkeiten sind, aber sie sind unsere finalen Geschwindigkeiten.

02:37 Schreiben Sie also den endgültigen Schwung dieser Situation auf die rechte Seite.

02:42 Was wir haben, ist: M1V1 prime M2V2 prime.

02:48 Wir wissen, dass diese aufgrund des Impulserhaltungssatzes gleich sein müssen.

02:52 Wichtig festzustellen ist, dass das zweite Objekt sich ursprünglich nicht bewegt.

02:57 Seine Geschwindigkeit ist also null.

02:58 Wir können sie also sofort streichen.

03:00 Die zweite Sache, die wir feststellen können, ist, dass es sich hier um eine elastische Kollision handelt, bei der die Anfangsenergie (Ei) gleich der Endenergie (Ef) ist.

03:09 Bei einem elastischen Kollisionsproblem verwenden wir also die Energie- und Impulserhaltung.

03:14 Die Anfangsenergie ist also nur die kinetische Energie der beiden Objekte: 1/2 [(M1V1 zum Quadrat) 1/2 (M2 x V zum Quadrat)] Das endgültige Momentum wird genau so aussehen, nur dass wir unsere Hauptkoordinaten verwenden, V1 Primzahl zum Quadrat, da dies unsere neuen Geschwindigkeiten sind.

03:35 Das nächste, was wir t mit der Energiegleichung, die wir geschrieben haben tun können, ist, den Term loszuwerden, da die Geschwindigkeit des zweiten Objekts gleich Null ist und das Objekt sich nicht bewegt.

03:46 Das nächste, was wir machen werden, ist die Anwendung des Impulserhaltungssatzes und die r Energieerhaltung.

03:51 Wir können also sagen, dass Beide gleich sind, Anfangs- und Endimpuls.

03:54 Wir können auch sagen, dass diese Beiden gleich sind.

03:56 Anfangs- und Endenergie.

03:58 Damit haben wir Folgendes: M1V1 = M1V1 prime M2V2 prime Und beim Aufschreiben der Erhaltung der Energie, können wir diesen Begriff mit einem langsameren Begriff gleichsetzen.

04:13 Wir haben dann: 1/2 M1V1 quadriert = 1/2 M1V1 Prime zum Quadrat 1/2 M2V2 Primel zum Quadrat Dies sind nun die Gleichungen, die wir lösen müssen.

04:29 Wir haben zwei Gleichungen und zwei Unbekannte.

04:31 Die Unbekannten sind die neuen Geschwindigkeiten, V1 prime und V2 prime.

04:35 Für Ihr Verständnis, ist es wichtig zu wissen, dass wir den größten Teil der Physik für dieses Problem bereits erledigt haben.

04:40 Zuerst haben wir das initiale Momentum, den Impuls, aufgeschrieben.

04:42 Danach das finale Momentum. Dasselbe haben wir dann für die Energie getan.

04:45 Und dann die Impulserhaltung und die Erhaltung der Energie angewendet, um zu versuchen, Gleichungen für die beiden gesuchten Variablen zu entwickeln und zu lösen.

04:55 Also, der Vollständigkeit halber denke ich, sollten wir als Nächstes – da dies genau die Art von Situation ist – eine möglicherweise komplizierte Gleichung aufstellen, um eine Variable mit quadratischer Menge zu ermitteln.

05:06 Das sollten wir also tun.

05:08 Auch hier sind wir auf der Suche nach V1 Prime und V2 Prime, wobei wir wieder zwei Gleichungen und zwei Unbekannte haben.

05:15 Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Reihe von Gleichungen zu lösen.

05:19 Eine Möglichkeit ist, dass wir jede Gleichung für V1 finden oder lösen.

05:23 Wir nehmen also einfach den Term der Primzahl V1 und den der quadrierten Primzahl V1.

05:27 Wir schreiben dann jede Gleichung in Bezug auf diese Menge um.

05:31 Wenn wir das tun, wissen wir, dass die beiden Mengen, die wir erhalten, einander gleich sein müssen.

05:35 Nehmen wir also zum Beispiel diese erste Gleichung: M1V1 = M1 prime + M1V1 prime + M2V2 prime und löse sie für V1 prime.

05:47 Dann sehen wir, dass V1 prime ist: 1/M1 [M1V1 - M2V2 prime] Das Gleiche können wir mit der Energiegleichung tun.

06:01 Wir sehen, dass V1 Primzahl zum Quadrat gleich ist – Dann sollten wir – Als erstes, beide Seiten mit 2 multiplizieren, um es zu vereinfachen.

06:12 Wir haben dann: V1 Primzahl quadriert = M1V1 quadriert - M2V2 Primzahl quadriert, alles geteilt durch M1.

06:25 Vergewissern Sie sich also, dass Sie den nächsten Schritt - das Umschreiben dieser beiden Gleichungen - auch wirklich durchführen können.

06:30 Wir haben unsere Gleichungen jetzt umgeschrieben.

06:33 Der Grund, warum wir das getan haben, ist, dass wir diese Menge, V1 prime, gleichsetzen können.

06:39 Dazu müssen wir diese erste Gleichung quadrieren.

06:41 Wir werden diese Gleichung also quadrieren.

06:43 Diese werden dann gleich sein und wir können sie einfach so hinschreiben.

06:47 Machen wir das also mit dem Quadrat der ersten Gleichung und erkennen dann, dass sie gleich der zweiten Gleichung sein wird, da sie beide gleich dem Quadrat von V1 sein werden.

06:54 In diesem Fall haben wir: (M1V1 - M2V2 prime) / M1 – und wir werden beides ins Quadrat bringen.

07:07 Quadrieren Sie die gesamte Menge, die wie folgt aussieht: Dies entspricht also dem Quadrat von V1 prime.

07:13 Aber das wird gleich sein mit dem Ausdruck hier unten, da wir wissen, was V1 Primzahl im Quadrat ist.

07:19 Das ist es also: M1V1 quadriert - M2V2 Prime quadriert alles geteilt durch M1.

07:29 Jetzt müssen wir uns also mit den letzten ‘chaotischen’ Details dieses Problems befassen.

07:33 Wir müssen diese Gleichung nur umstellen, bis wir die Primzahl V2 haben.

07:37 Das Erste, was ich tun kann, ist, beide Seiten mit der Primzahl M1 zum Quadrat zu multiplizieren.

07:41 Danach werde ich diese quadratischen Terms aufschreiben.

07:43 Dies wird das einzig schwierige bei dem Problem sein bleiben Sie also für den letzten Teil bei mir, so dass wir zusammen sehen, wie es einfacher wird.

07:50 Das wird der erfreulichere Teil sein.

07:52 Lassen Sie uns das also zunächst tun.

07:53 Wir haben: M1V1 - das müssen wir quadrieren.

07:58 Es ist also: M1 zum Quadrat x V1 zum Quadrat.

08:01 Und dann werden wir den Cross-Term machen.

08:03 Dieser wird aus der Algebra kommen: -2 M1M2 V1V2 prime + und dann wird unser letzter Term quadriert - dieser Term ist: M2 zum Quadrat V2 zum Quadrat ist gleich und dann multiplizieren wir beide Seiten mit M1 zum Quadrat. Lasst es uns angehen.

08:26 Damit wird eine der Möglichkeiten ausgeschaltet und ist jetzt gleich: M1 ( M1V1 quadriert - M2V2 prime quadriert) So, nun sind wir hier fast fertig.

08:38 Ich habe eine Sache gemacht, an die Sie sich vielleicht noch aus der Algebra erinnern können, nämlich, dass ich den quadrierten Term genommen habe.

08:43 Immer dann, wenn Sie etwas haben, das wie A - B aussieht und Sie es quadrieren, sollten Sie daran denken, dass Sie immer folgendes bekommen: A zum Quadrat - 2AB + B zum Quadrat Und es gibt nur wenige Methoden, die wir in der Algebra haben für die Erzielung der Ergebnisse.

08:58 Daher empfehle ich Ihnen, alle Grundlagen der Algebra zu wiederholen, weil diese Fähigkeiten nützlich sein werden, wenn wir versuchen Variablen zu lösen, besonders bei einem langen Problemen wie diesem.

09:05 So, jetzt sind wir fast fertig.

09:07 Jetzt kommt der unterhaltsame Teil, nämlich die Vereinfachung, bei dem wir viele Begriffe loswerden können.

09:11 Zunächst ist festzustellen, dass dieser erste Term M1 zum Quadrat V1 zum Quadrat ist.

09:15 Das ist dasselbe wie beim ersten Term: M1 x M1 = M1 zum Quadrat M1 x M1 ist M1 zum Quadrat.

09:19 Also M1 zum Quadrat, V1 zum Quadrat diese beiden Begriffe verschwinden, wenn man sie von beiden Seiten subtrahiert.

09:25 Und jetzt können wir die ganze Gleichung einfach umschreiben, wo wir wiederum versuchen, die V2 Prime zu lösen.

09:32 Das ist es also, was wir lösen werden: Wir ordnen also einfach um, indem wir M2V2 prime quadriert zu beiden Seiten hinzufügen.

09:38 Wir erhalten dann etwas, das so aussehen sollte: (M2 quadriert M1M2 x V2 Prime quadriert) und das kommt von den Terms, M2 zum Quadrat und M2M1.

10:02 Wir haben uns also um diese beiden Begriffe gekümmert.

10:05 Minus von diesem negativen Vorzeichen 2 M1M2V1 x V2 prime Sie sehen also, das Einzige, was wir dort noch haben ist 0, weil ich alles auf die linke Seite verschoben habe.

10:23 Üben Sie also auch hier Ihre Algebra.

10:25 Versuchen Sie, dies selbst zu tun und sehen Sie nach, ob Sie die gleichen Ergebnisse erzielen können.

10:28 Es gibt eine Menge zu tun.

10:29 Wie Sie sehen können, habe ich einfach alles rübergeschoben und das Ganze in Term von V2 prime geschrieben, da dies genau das ist, wonach wir suchen.

10:36 Alles andere sind nur Details.

10:37 Das sind nur Zahlen, die wir einfügen können, wenn wir fertig sind.

10:40 Mit dem letzten Schritt sind wir dann so gut wie fertig.

10:43 Wir faktorisieren V2 prime und haben dann eine Gleichung, die lautet: (M2 quadriert + M1M2) V2 prime - (2M1M2V1) = 0 Diese gibt uns dann eine Lösung.

11:04 Immer dann, wenn zwei Mengen miteinander multipliziert werden, in diesem Fall V2 prime mal dieser große lange Ausdruck, den wir daneben haben, sollten wir wissen, dass eine dieser beiden Zahlen Null sein muss.

11:15 Denn wenn Sie zwei Zahlen haben, die man miteinander multipliziert, erhält man Null.

11:19 Da könnten Sie antworten: "Nun, eine dieser beiden Zahlen muss eine Null sein, denn wenn man sie miteinander multipliziert, ist das der einzige Weg, um eine Null zu erreichen." Also, diese Factoring-Technik, die ich Ihnen hier gerade gezeigt habe, ist sehr, sehr häufig für jedes Problem, bei dem Sie quadrierte Mengen haben.

11:31 So wie V1 zum Quadrat oder V2 zum Quadrat, wie wir es hier haben.

11:35 Also, lassen Sie uns das ganz schnell machen.

11:36 Wir sehen, dass die Mathematik uns zeigt, dass, wenn die von uns genannten physikalischen Gesetze wahr sind, haben wir eine von zwei Möglichkeiten.

11:41 Wir können sagen, dass die Primzahl V2 von diesem Term her Null ist, oder wir können das Gegenteil tun und sagen, dass dieser ganze Term gleich Null ist.

11:49 Denn auch hier muss eines von beiden gleich Null sein.

11:52 Also entweder das zweite Objekt, -- dieses Objekt hier, das sich ursprünglich nicht bewegte- bewegt sich auch am Ende nicht mehr.

11:59 Es blieb einfach die ganze Zeit über still stehen.

12:00 Mit anderen Worten, was die Mathematik uns hier sagt, ist, dass sie sagt: "Wenn man will, dass die Gesetze der Erhaltung von Impuls und Energie wahr sind, ist eine der Optionen, dass V2 prime null ist.

12:11 Die Geschwindigkeit des zweiten Objekts bleibt gleich Null, aber das würde der ersten Masse entsprechen und direkt durch die zweite Masse gehen und nie tatsächlich Auswirkungen auf sie haben.

12:18 Die Mathematik wird Ihnen manchmal diese Art von Antworten liefern, denn die Mathematik hat keine Ahnung, was hier vor sich geht.

12:24 Sie sagt nur: "Hier ist etwas, das Energie und Schwung erhält".

12:27 Und es ist wahr.

12:29 Es würde Energie und Schwung erhalten wenn wir ein Objekt durch ein anderes hindurchgehen lassen.

12:33 Aber es handelt sich nicht um ein physisches Szenario.

12:35 Dieses Beispiel ist eines von vielen, in denen Sie die Mathematik verwenden werden, um etwas über die Physik zu erfahren und Sie sehen ein nicht-physisches Ergebnis.

12:44 Sie müssen sich daher immer auf Ihre Intuition verlassen, um die Probleme in der Physik zu verstehen und was vor sich geht, um die richtige Antwort zu finden.

12:51 In diesem Fall können wir sagen, dass dies eine nicht-physische Antwort ist.

12:54 Die Objekte gehen auf keinen Fall durch einander hindurch.

12:56 Damit haben wir nun unsere endgültige Antwort, die sich aus der Einstellung dieses Wertes auf Null ergibt.

13:00 Wenn dies gleich Null ist, kann ich diesen Term zu beiden Seiten addieren, und dann durch diesen ersten Term geteilt und wir haben: V2 prime = (2 x M1 x M2) / (M2 Quadrat M1 x M2) x V1 Mit anderen Worten, die Endgeschwindigkeit des zweiten Objekts ist gleichbedeutend mit etwas und hat mit der Masse zu tun mal der ursprünglichen Geschwindigkeit des ersten Objekts.

13:29 Der letzte Schritt bei diesem Problem wäre ein sehr einfacher Schritt, denn wir müssen die Geschwindigkeit des ersten Objekts bestimmen nachdem es das zweite Objekt getroffen hat.

13:39 Aber das ist sehr einfach.

13:40 Wir müssen diese Analysen nicht mehr durchführen, denn wir haben bereits eine einfache Gleichung, die V1 prime und V2 prime miteinander verbindet.

13:48 Dies ergibt sich aus der Impulserhaltung.

13:49 Was wir hier also tun müssen, ist für die Gleichungen, die wir hier links haben.

13:55 Sie sehen diese Gleichung der Impulserhaltung.

13:58 Wir können sehr gut sehen, wie V1 prime und V2 prime zusammenhängen.

14:02 Wir machen also unseren letzten Schritt hier drüben.

14:05 Genauer gesagt, können wir durch Umstellung diese Impulsgleichung hier.

14:10 Die Primzahl V1 muss gleich der Primzahl M1V1 minus M2V2 geteilt durch M1 sein.

14:23 Da wir diese Größen, die ich hier notiert habe, alle kennen, können wir das Problem durch Einsetzen der Zahlen einfach lösen.

14:30 Lassen Sie uns das zuerst für V2 prime machen.

14:32 Das ist also gleich: 2 mal die erste Masse, die 200 ist, mal der zweiten Masse, die 400 ist, alles geteilt durch: die zweite Masse quadriert, was 400 hoch 2 ist, plus dem Produkt der beiden Massen – in diesem Fall also M1 mal M2, was 200 mal 400 ist.

15:04 Jetzt müssen wir das noch vereinfachen.

15:07 Eine Sache, die sie vielleicht gleicht bemerkt haben ist, dass wir diese 400 hier sofort streichen können, was wir auch schon gleich hier hätten machen können, indem wir eine Version von M2 streichen.

15:17 Dann können wir wie folgt lösen: 2 x 200 ist 400, geteilt durch (400 + 200), was 600 ist.

15:27 Und nicht vergessen , wir müssen auch mit unserer Geschwindigkeit V1 multiplizieren.

15:31 Wir multiplizieren also die vier Sechstel mit unserer Geschwindigkeit, die 30 ist und machen dann unseren letzten Schritt: 4 x 5, nachdem wir 30 mit 6 kürzen, 20 Meter pro Sekunde.

15:43 Das ist also V2 prime und es ist sehr einfach V1 zu berechnen.

15:47 Es ist nicht annähernd so schwer, da wir bereits die ganze Arbeit gemacht haben, welche Folgende ist: M1 was 200 ist, mal V1 was 30 ist, minus M2 was 400 ist, mal V2 prime, was 20 ist, wie wir gerade herausgefunden haben, alles geteilt durch M1, was 200 ist.

16:03 Wir kürzen 200 mit diesen Beiden, also ist das 400 und nun sehen wir, dass V1 prime die anschließende Geschwindigkeit unseres ersten Objekts, 30 - 2 x 20 (was 40 ergibt) ist, welches -10 Meter pro Sekunde ergibt.

16:20 Und das ist die Geschwindigkeit unseres ersten Objekts nach der Kollision.

16:23 Was Sie hier sehen können ist, dass sich das zweite Objekt, nachdem es vom ersten Objekt getroffen wurde, mit einer Geschwindigkeit von 20 Metern pro Sekunde bewegt, während das erste Objekt abprallt und sich jetzt rückwärts in die negative Richtung bewegt, mit einer Geschwindigkeit von 10 Metern pro Sekunde.

16:37 Das war ein sehr langes und verstricktes Problem, und es ist in der Tat eines der Längsten, wenn nicht sogar das längste Problem, das sie sich je ansehen müssen, weil es die Lösung einer Gleichung beinhaltet, die quadrierte Variablen enthält.

16:49 Ich habe mich nur dieses eine Mal durch die chaotischen Details gearbeitet, weil ich glaube, es ist zumindest einmal wichtig für Sie, der Logik zu folgen und mit den kniffligen Dingen umzugehen, die hier und da auftauchen können, vielleicht mit dieser Geschwindigkeit, die Null sein kann und wie wir das hier quadrieren und diese Gleichungen gleichsetzen.

17:05 Wir haben uns also wirklich durch die Details gearbeitet.

17:07 Ich habe versucht die Physik, also die erste linke Spalte, von der Mathematik zu trennen, wenn sie versuchen ein langes und kompliziertes Problem wie dieses hier zu lösen.

17:16 Und natürlich, immer wenn Sie ins Detail gehen, wie sie es gerade bei mir beobachten konnten, tauchen Probleme auf, und es kann etwas vergessen werden, vielleicht habe ich hier und da eine Variable nicht eingesetzt.

17:24 Also seien Sie vorsichtig, langsam und achtsam, wenn Sie durch diese Probleme gehen, denn es kann mühsam sein.

17:31 Aber wenn sie vorsichtig und langsam sind und der Logik des Problems folgen, dann sollte es nicht so schlimm sein.