Components of Projectile Motion

00:01 Das Erste, was wir tun müssen, um ein Problem wie dieses zu lösen, ist, das zu tun, was ich zuerst erwähnt habe.

00:06 Das heißt, wir müssen diesen Vektor, der sich in beidem befindet, horizontal und vertikal, in nur horizontal und nur vertikal aufteilen.

00:13 Denn in den Bewegungsgleichungen, die wir gerade aufgeschrieben haben, steht, dass wir die Geschwindigkeit in x-Richtung und in der horizontalen Richtung haben.

00:20 Außerdem haben wir die Geschwindigkeit in vertikaler Richtung, nur die y-Richtung müssen wir finden, wenn wir sie in unsere Gleichung einsetzen wollen.

00:26 In der Regel werden in der Aufgabe nicht die horizontale und vertikale Geschwindigkeit angegeben, stattdessen erhalten Sie den gesamten Geschwindigkeitsvektor, seinen Betrag und einen Winkel, eine Richtung, in die er geht, eine Richtung als Winkel vom Boden aus. Dieser Winkel wird Theta genannt. Es ist dieser griechische Buchstabe, der wie ein Kreis mit einer horizontalen Linie aussieht. Dieser griechische Buchstabe Theta wird sehr häufig für Winkel verwendet.

00:50 Wie können wir also unsere vertikalen und horizontalen Geschwindigkeiten ermitteln, wenn wir nur den Betrag und den Winkel kennen, in dem unsere Geschosse abgefeuert werden? Wir werden das Ganze wie ein Dreieck behandeln.

01:02 Wir kehren einfach zur Trigonometrie zurück und das wird uns helfen, das Problem zu lösen und wenn Sie sich nicht mehr so gut an Trigonometrie erinnern, keine Sorge, wir werden dies gleich durchgehen, zumindest die wichtigen Aspekte, und dies wird eine gute Referenzfolie dafür sein.

01:12 Wir stellen uns das Ganze wieder als Dreieck vor.

01:15 In diesem Fall ist der Gesamtgeschwindigkeitsvektor die Hypotenuse des Dreiecks.

01:20 Der grau schattierte Bereich ist unser Dreieck und wir haben einen Winkel dieses Dreiecks zur Verfügung.

01:26 Wir beziehen uns dabei auf die beiden Schenkel dieses rechtwinkligen Dreiecks, gegenüber der Hypotenuse.

01:33 Wir haben also eine Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, die am weitesten von ihm entfernt ist und dann haben wir eine an den Winkel angrenzende Seite, die den Winkel berührt, die Seite, die den Winkel tatsächlich berührt.

01:44 In diesem Fall ist die gegenüberliegende Seite unsere vertikale Geschwindigkeit und die angrenzende Seite dieses Dreiecks ist unsere horizontale Geschwindigkeit.

01:50 Wenn es also um die Aufteilung des Vektors in seine Komponenten geht, ist es genau die gleiche Frage, wie wenn ich die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks kenne.

01:58 Dann kann ich irgendwie die beiden Schenkel dieses Dreiecks finden.

02:01 Mit Hilfe der Trigonometrie können wir kurz nachschlagen, wie das geht, die drei trigonometrischen Funktionen, die du vielleicht gelernt hast, und wir werden jetzt versuchen, uns daran zu erinnern, der Sinus von Theta, wird so dargestellt, mit dem Theta in der Klammer.

02:15 Für ein Dreieck wie dieses ist der Sinus von Theta wie folgt definiert: das Verhältnis zwischen der Länge der gegenüberliegenden Seite und der Länge der Hypotenuse.

02:23 Der Sinus ist also gleich der Gegenseite durch die Hypotenuse. Der Kosinus von Theta ist wiederum definiert als die Länge der angrenzenden Seite, geteilt durch die Länge der Hypotenuse.

02:34 Wie Sie sehen können, gibt Ihnen eine dieser Gleichungen die gegenüberliegende Seite und die andere gibt Ihnen die angrenzende Seite.

02:39 Schließlich haben wir diese letzte Funktion, die nur durch die beiden Schenkel des Dreiecks definiert ist, die gegenüberliegende Seite und die angrenzende.

02:45 Der Tangens von Theta ist also definiert als das Verhältnis von gegenüberliegend zu angrenzend.

02:49 Wie Sie aus der Trigonometrie ersehen können, definieren wir einfach diese Funktionen auf der Grundlage der Verhältnisse der verschiedenen Seiten dieses Dreiecks und fragen uns, woher diese kommen.

02:57 Eine Möglichkeit, sich diese Formeln zu merken, ist, - und es gibt viele Möglichkeiten, die Menschen nutzen, aber ich nenne Ihnen die wahrscheinlich bekannteste und am häufigsten zitierte - um sich zu merken, welches der Sinus, welches der Kosinus und welches der Tangens ist, ist die Verwendung dieses Ausdrucks: SOHCAHTOA. Sie können hier ein S-O-H-C-A-H und ein T-O-A sehen und das ist ein bisschen willkürlich, aber irgendwie bleibt es im Kopf hängen, um sich zu merken, welches davon welches ist, und was das bedeutet, ist SOH, S-O-H, ist Sinus ist opposite (entgegengesetzt) durch Hypotenuse, das bedeuten diese drei Buchstaben.

03:26 CAH, C-A-H ist Cosinus adjacent (angrenzend) durch Hypotenuse, und schließlich TOA, Tangens ist opposite (entgegengesetzt) durch angrenzend.

03:35 Und so benutzen die Leute manchmal diesen Ausdruck, SOHCAHTOA, 00:03:39.909 --> 00:03:43.588 und Sie können das als Gedächtnisstütze verwenden, wenn Ihnen das hilft.

03:44 Warum sind diese nützlich? Nehmen wir vorerst nur den Sinus und den Kosinus denn wir versuchen, die beiden Schenkel des Dreiecks zu finden, die Länge dieser beiden Schenkel.

03:53 Alles, was wir tun müssen, ist, die ersten beiden Gleichungen, die Sie dort sehen, umzustellen durch Multiplikation beider Seiten mit der Hypotenuse.

03:59 In diesem Fall ist die gegenüberliegende Seite gleich der Länge der Hypotenuse, was wiederum in den meisten Problemen mal den Sinus des Winkels Theta ist.

04:08 Und auch der Winkel Theta ist in den meisten Aufgaben gegeben, und so kann man die Länge der gegenüberliegenden Seite dieses Dreiecks ermitteln.

04:14 Mit anderen Worten, die vertikale Geschwindigkeit ergibt sich allein aus der Hypotenuse die Ihnen gegeben wurde, und multipliziert mit dem Sinus von Theta.

04:20 Auf die gleiche Art und Weise können Sie auch die benachbarte Seite finden, indem man die Hypotenuse nimmt und stattdessen mit dem Kosinus von Theta multipliziert, die wiederum aus den Gleichungen stammt, die wir bereits notiert haben - wie diese trigonometrischen Funktionen definiert sind.

04:34 Wie ich schon sagte, was man in Bezug auf ein tatsächliches Problem tun kann, ist, zu erkennen, dass die vertikalen und horizontalen Komponenten Ihres Geschwindigkeitsvektors gegeben sind durch die Gesamtgeschwindigkeit mal den Kosinus oder die Gesamtgeschwindigkeit mal den Sinus des Winkels, um die beiden Komponenten (horizontal und vertikal) zu ermitteln.

04:51 Eine Sache, die es leichter machen könnte, sich diese zu merken ist, wenn Sie versuchen, sich zu merken, welches die gegenüberliegende und welches die benachbarte Seite ist ohne auf eine lustige Merkhilfe zurückgreifen zu müssen, wie wir sie gerade eingeführt haben.

05:00 Eine schnelle und einfache Methode, um sich dies speziell für eine Prüfung zu merken ist es, zu wissen und sich zu merken, dass der Sinus von Null gleich Null und der Kosinus von Null gleich Eins ist.

05:10 Warum ist das also nützlich? Wir nehmen das Bild, das wir von diesem Dreieck haben und stellen Sie sich vor, dass der Winkel gegen Null geht, sodass Ihr Dreieck gewissermaßen flach wird.

05:18 Sie können sich vorstellen, dass die gegenüberliegende Seite oder die vertikale Seite auf Null schrumpfen sollte, wenn Ihr Winkel flacher wird.

05:24 So kann man schnell merken, dass man den Sinus und den Kosinus richtig berechnet hat.

05:28 Es ist ganz klar, wenn ich sage, dass die Gegenseite ein Vielfaches des Sinus von Theta sein muss, weil die gegenüberliegende Seite auf Null schrumpfen muss, wenn ich meinen Winkel auf Null stelle.

05:38 Dies ist eine Übersichtsfolie, die zeigt, wie eine Projektilbewegung aussieht.

05:43 Wir haben unsere Geschwindigkeit, die in einem bestimmten Winkel abgewinkelt ist und dann haben wir die horizontalen und vertikalen Komponenten unserer Geschwindigkeit ermittelt.

05:51 Jetzt haben wir diese beiden Komponenten mit den von uns aufgestellten Bewegungsgleichungen gefunden, die Anwendung der normalen Bewegungsgleichungen in einer Dimension, wir haben sie in horizontaler und vertikaler Richtung angewendet und wenn wir die soeben gefundenen Werte einsetzen, können wir diese Gleichungen lösen.

06:04 Ein kurzer Überblick über die wichtigsten Aspekte der Projektilbewegung: Das Szenario, das wir gerade besprochen haben. Erstens, wenn wir die Reibung 00:06:14.770 --> 00:06:18.965 oder den Luftwiderstand für das Objekt, das sich durch die Luft bewegt, außen vor lassen wollen, gibt es keine horizontale Beschleunigung.

06:19 Es gibt nichts, was es nach links oder rechts schiebt, nur nach oben und unten.

06:22 In Aufwärts- und Abwärtsrichtung bzw. in vertikaler Richtung, haben wir eine vertikale Beschleunigung, die nach unten gerichtet ist.

06:27 Und an der Oberfläche der Erde, wie wir bereits besprochen haben, ist dieser Wert minus G, d. h. 9,8 Meter pro Sekunde im Quadrat, die nach unten wirken.

06:34 Wir haben auch die Komponenten der Geschwindigkeit gefunden und es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, wie man das macht um dies in jeder Situation tun zu können.

06:42 Wir haben festgestellt, dass die horizontale Geschwindigkeit gleich der Gesamtgeschwindigkeit ist, mal den Kosinus des gegebenen Winkels.

06:48 Und wir haben die vertikale Geschwindigkeit gefunden: die Geschwindigkeit in y-Richtung ist die Gesamtgeschwindigkeit mal dem Sinus des angegebenen Winkels.

06:55 Denken Sie also daran, diese vorzubereiten und diese für jedes Problem parat zu haben wo Sie Vektoren in verschiedene Komponenten zerlegen müssen.