Center of Mass: Example

00:01 Hier ein Beispiel dafür, wie man den Massenschwerpunkt eines Systems ermitteln kann.

00:04 Dies hat mit der Sonne, dem Mond und der Erde zu tun.

00:07 Fragen wir uns, wo der Massenschwerpunkt des Sonnensystems liegt.

00:11 Mit anderen Worten, wenn ich nur die Erde und die Sonne betrachte, wo sich deren Massenschwerpunkt befindet, wenn wir die Masse der Sonne auf 2x10^30 Kilogramm und die Masse der Erde auf 6x10^24 Kilogramm schätzen und der Abstand zwischen ihnen 1,5x10^8 Kilometer beträgt.

00:27 Dann machen wir das Gleiche mit der Frage nach dem Massenschwerpunkt zwischen der Erde und dem Mond.

00:30 Dann erhalten wir wieder eine Masse für den Mond, die viel kleiner ist als die der Erde und daraus ergibt sich eine Entfernung des Mondes von der Erde.

00:37 Versuchen Sie es also mit der Gleichung, die wir gerade verwendet haben oder nach unten für den Massenschwerpunkt in einer Dimension und sehen Sie, ob Sie herausfinden können, wo sich der Massenschwerpunkt dieses Objekts befindet.

00:46 Wenn Sie dieses Problem ausprobiert haben, sieht es hoffentlich ungefähr so aus.

00:50 Wir fragen nach dem Massenschwerpunkt von zwei Objekten.

00:52 Dieses Objekt hier im ersten Teil des Problems ist die Sonne, das größere Objekt und danach das kleinere Objekt wäre dann die Erde.

01:03 Wir müssen also unsere Gleichung für den Massenschwerpunkt verwenden und sagen, der Massenschwerpunkt diesem entspricht und dann multiplizieren wir M1 mit seiner Position, plus die Masse multipliziert mit 2 Mal der Position und dann dividieren wir es durch die Gesamtmasse.

01:21 In diesem Fall wissen wir, dass die Masse 1 die Masse der Sonne ist.

01:26 In diesem Fall haben wir also, ich schreibe es einfach mal so.

01:31 Bei diesem Problem können wir einen beliebigen Ursprung für unser Koordinatensystem wählen.

01:36 In dieser Situation ist es also wichtig, dass Sie wissen, wo sich Ihre Koordinaten befinden.

01:39 In diesem Bild zum Beispiel ist x gleich Null links von unserer ersten Masse.

01:44 Unser erstes Objekt ist die Sonne, aber wenn sie uns fragen, wo der Schwerpunkt liegt, können wir ihnen eine Antwort in Bezug auf jede gewünschte Position geben.

01:52 Wenn es beispielsweise für das Problem günstiger ist, nehmen Sie kein Koordinatensystem, das für Sie unbequem ist, sondern wählen Sie Ihr eigenes Koordinatensystem.

01:58 So würden Sie dies tun.

02:00 Wir können also sagen, dass die Sonne an der Position x gleich Null ist, und dann können wir unsere Referenz angeben.

02:05 Dies lässt sich als unser Massenzentrum in Bezug zum Nullpunkt in Bezug auf die Sonne bezeichnen.

02:10 Wir können also sagen, dass sich unser Massenschwerpunkt in dieser und jener Entfernung von der Sonne selbst befindet.

02:13 Sie werden sehen, dass dies unsere Analyse erheblich vereinfachen wird.

02:17 In diesem Fall ist X1, die Position der Sonne, tatsächlich Null, rufen wir die Sonne also an der Position Null auf, müssen wir den Massenterm für die Sonne gar nicht berücksichtigen, weil ihre Masse zwar groß ist, aber die Position nach unserer Definition Null ist.

02:33 Dann müssen wir nur noch die Masse 2 beschreiben, die die Masse der Erde ist.

02:37 Wir sagten, diese sei 6x 10^24 mal seine Position, welche wir auf 1,5x10^8 schätzten.

02:49 Dann muss diese nur noch durch die Gesamtmasse geteilt werden.

02:52 Dies ist die Masse der Sonne 2x 10^38, sorry plus, Achten Sie dabei darauf, dass Sie immer die Zähler multiplizieren, aber die Nenner addiert werden, 6x10^24.

03:09 Nun gibt es noch eine weitere Vereinfachung, die wir bei diesem Problem vornehmen können, und zwar indem man sich den Nenner ansieht und den großen Unterschied in den beiden Zahlen erkennt, die wir im Nenner haben.

03:19 Das ist etwas, das auf den ersten Blick kontraintuitiv erscheinen mag, wenn wir nur daran gewöhnt sind, den Zahlen zu folgen und zu versuchen, eine Antwort zu finden, aber in einer Prüfung oder einem praktischen Einsatz wollen Sie wirklich verstehen, welche Zahlen die anderen in ihrer Bedeutung übertreffen.

03:31 Betrachtet man diese beiden Zahlen in wissenschaftlicher Notation, so ergibt sich 2x10^38 plus 6x10^24. Sie bemerken, dass zwischen diesen beiden Größenordnungen ein Unterschied von sechs Größenordnungen besteht.

03:42 Das wäre so, als würde ich sagen, wir nehmen die Zahl 1 und addieren diese zu 0,000001. Die zweite Zahl, die sehr kleine Zahl, wird die Antwort in keiner Weise verändern und sie wird auch keinen Einfluss auf unsere Antwort gegenüber der vielen, vielen Nachkommastellen haben.

03:58 Wenn Sie also ein Problem wie dieses haben, sollten Sie niemals zusätzliche Zeit darauf verwenden, diesen anderen Term zu finden, der so viele Nullen in sich hat.

04:06 Es wird Ihre Antwort in keiner Weise ändern und einige Antwortoptionen scheiden somit aus.

04:11 Wir werden also diese im Verhältnis zur Sonnenmasse sehr, sehr kleine Zahl nicht berücksichtigen, weil sie nichts am Ergebnis ändert.

04:16 Und so sehen wir, wenn wir die wissenschaftliche Notation verwenden, 6 mal 1,5 geteilt durch 2 ist gleich 9 geteilt durch 2 und dann haben wir unsere Einheiten 10^24 mal 10^8 ist 10^32.

04:32 Dies wiederum geteilt durch unsere 10^38 und so sehen wir, dass wir 4,5 (als 9 geteilt durch 2) erhalten.

04:40 Und dann mal 10^2, nachdem wir die 32 mit der 30 gelöscht haben.

04:44 Unsere Antwort ist also 4,5 mal 10^2. Denken Sie daran, was unsere Einheiten waren 450 Kilometer, da dies die Einheiten sind, die wir für Entfernungen von der Sonne verwenden.

04:57 Und wir wissen, dass die Sonne ein riesiges Objekt ist, so dass die Tatsache, dass die Sonne so groß ist dass sich das Zentrum der Masse immer noch im Inneren der Sonne befindet und diese nicht einmal verlässt.

05:07 Wir könnten nun genau dieselbe Analyse verwenden, um das Erde-Mond-System zu lösen und es wird sich nicht dramatisch ändern, aber beachte die Ähnlichkeiten.

05:19 Und wir haben den Massenschwerpunkt für das Erde-Mond-System, welches sehr ähnlich wäre. Wir könnten stattdessen die Erde und den Mond betrachten und der Massenschwerpunkt würde genau der gleichen Logik folgen.

05:32 Wir haben also die Masse der Erde mal ihren Standort, also können wir das x nennen und dann haben wir die Masse des Mondes mal seinen Standort und dann dividieren wir durch die Summe der beiden Objektmassen Wir können genau das Gleiche tun, denn auch hier gilt: Wenn wir die Position der Erde als Null für uns definiert haben, müssen wir uns keine Gedanken darüber machen, sondern uns nur mit der Masse des Mondes befassen.

05:57 Diese ist 7 mal 10^22 mal seine Position, diese ist 4 mal 10^5 und dann teilen wir es durch die Summe der Massen und wir werden genau dieselbe Art von Argument sehen: 6 mal 10^24, plus 7 mal 10^22.

06:14 Wir erhalten diese Zahl hier, die noch um eine oder mehrere Größenordnungen kleiner ist.

06:20 Mit anderen Worten: 1 % der Masse der Erde. Dies wird Ihre Antwort nicht um mehr als 1% von der tatsächlichen Zahl abweichen lassen.

06:27 Es ist also viel besser, nicht viel Zeit mit der Lösung von Problemen zu verbringen, wenn diese Zahlen Ihre Antwort um so kleine Beträge verändern.

06:34 Wir werden dies also wieder nicht in Betracht ziehen, da es sich nur um eine kleine Änderung handelt.

06:38 Wir werden wieder das Gleiche tun, wir werden 7 mal 4 geteilt durch 6 mit unseren Größenordnungen im Voraus berechnen.

06:44 Also (10^22 mal 10^5) geteilt durch 10^24.

06:50 Irgendwelche Zahlen, das wird wieder ungefähr 4,5 sein, weil wir 7 mal 4 gleich 28 haben geteilt durch 6 ist fast 4,5 und dann 22 plus 5 ist 27 geteilt durch 10^24.

07:06 Wir erhalten eine Potenz von 3, also mal 10 bis zum dritten Kilometer.

07:11 Mit anderen Worten: etwa 4500 Kilometer von der Erde entfernt, da der Radius der Erde tatsächlich noch größer ist als dieser.

07:21 Wir haben unseren Massenschwerpunkt immer noch nicht außerhalb des größeren Objekts dies ist immer noch ein Massenschwerpunkt, der sich im Inneren der Erde befindet, allerdings nicht an der Erdoberfläche.

07:35 Jetzt wollen wir noch einen letzten Schritt tun, nämlich die folgenden Punkte berücksichtigen wobei der Massenschwerpunkt für ein zweidimensionales System ist.

07:42 Wenn wir Objekte haben, die nicht nur in eine Richtung gestreckt sind, sondern auch sehr entlang der y-Richtung, einer ebenfalls vertikalen Richtung in diesem Diagramm.

07:49 In diesem Fall ist es genau das, was Sie vielleicht erwartet haben, nämlich, dass man zunächst den Massenschwerpunkt in x-Richtung finden könnte, In diesem Fall nimmt man nur die Massen mal ihre x-Positionen und man macht das für jede Masse und teilt es dann durch die Summe der Massen, um Ihre Einheiten wieder richtig zu ändern.

08:13 Um den y-Masseschwerpunkt zu ermitteln, müssen Sie genau dasselbe tun, und Sie können es separat lösen.

08:19 Man hat also Masse 1 mal ihre Position in y-Richtung plus Masse 2 mal seine Position in y-Richtung usw., und ein weiteres Mal teilen Sie es durch die Summe der Massen und diese sind nun unterschiedlich.

08:32 Es ist also wichtig zu beachten, dass bei einem Problem wie diesem die y-Positionen vieler dieser Massen wichtig sind.

08:37 Die Masse 1 hat eine y-Position von Null, weil sie in dieser Richtung keinen Abstand hat.

08:42 Y2 hat ebenfalls eine Position von Null und die x-Position der Masse 3 ist ebenfalls Null.

08:50 Es gibt viele Vereinfachungen, die Sie bei diesem Problem anwenden können.

08:53 Bei Problemen mit dem Massenschwerpunkt ist es im Allgemeinen immer eine gute Idee zu versuchen, diese Art von Vereinfachungen zu nutzen.

08:58 In dieser Vorlesung haben wir also beide Kreisbewegungen durchgespielt: eine gleichmäßige Kreisbewegung und diesbezüglich die Erklärung, wie man den Massenschwerpunkt für ein kompliziertes System findet oder nur ein eindimensionales System, insbesondere wenn ein Objekt viel, viel schwerer ist als das andere.

09:13 Danke fürs Zuschauen.