Bernoulli's Equation: Example

00:01 Wenden wir nun ein Beispiel für die Bernoulli-Gleichung an und sehen wir, ob wir dieses beispielhafte Problem lösen können, bei dem es um die folgende Frage geht: Man hat einen 2 Meter hohen Wassertank mit offener Oberseite.

00:11 Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit bei einer Öffnung, die 0,5 m von der Basis entfernt ist, die also in 0,5 m Entfernung vom Boden des Tanks entweicht? Wenn man die Bernoulli-Gleichung anwendet mit den Angaben, die wir gerade festgehalten haben, dann versuchen Sie, dies zu lösen, indem Sie die Bernoulli-Gleichung an der Spitze des 2 Meter hohen Wassers und die, in 0,5 Meter Entfernung von der Basis dieses Eimers, miteinander vergleichen. Das werden wir jetzt tun. Das sieht dann hoffentlich in etwa so aus.

00:40 Sie haben einen Tank. In diesem Tank befinden sich 2 Meter Wasser. Dann hat er ein Loch und hier entweicht das Wasser. Dieser Abstand des Lochs zum Boden beträgt einen halben Meter.

00:55 Was wir tun, um zu sehen, wie schnell das Wasser aus dem Loch fließt, ist der Vergleich des Bernoulli-Prinzips hier, am höchsten Punkt des Wassers und dann hier, wo es den Tank verlässt.

01:05 Hier, an Position 1, haben wir also den Druck P1 plus ½ zum Quadrat plus ρgh1, was sich aus der Höhe des Wassers ergibt. An Position 2 haben wir P2 plus ½ der Dichte mal der Geschwindigkeit im Quadrat.

01:28 Dies ist die gesuchte Geschwindigkeit plus die Dichte des Wassers mal g mal h2, die viel geringer ist.

01:34 Sie liegt nur bei 0,5 Metern. Aber das Bernoulli-Prinzip besagt, dass diese Dinge gleich bleiben.

01:39 Das ist alles, was wir tun müssen. Also, lasst uns das tun. P1, lassen Sie es uns vollständig aufschreiben, plus ½ ρv1 zum Quadrat plus ρgh1 ist gleich, und dies entspricht dann der zweiten Menge. Was wir jetzt tun werden, nachdem wir den gesamten Ausdruck ausgeschrieben haben, ist zu versuchen, ihn zu vereinfachen, indem wir uns die verschiedenen Variablen ansehen und prüfen, ob eine von ihnen vereinfacht werden kann. Zunächst einmal, was sind diese Drücke, diese unterschiedlichen Drücke? Das sind nur die Gegensätze. Das sind die absoluten Drücke.

02:10 Der Druck, der zum Beispiel auf diese Flüssigkeit drückt, und der Druck, der von der Atmosphäre aus auf diese Flüssigkeit drückt sind die gleichen. Dies sind also nur die atmosphärischen Drücke.

02:19 Sie unterscheiden sich also nicht voneinander, denn keiner von ihnen ist isoliert.

02:23 Im zu lösenden Problem wird auf die Tatsache hingewiesen, dass es sich um einen oben offenen Behälter handelt. Dies ist wichtig, denn das bedeutet, dass die Atmosphäre auf das Wasser drücken kann. Wenn wir einen geschlossenen Behälter hätten, wie einen, wo das Wasser von unten käme, würde sich ein anderes Szenario ergeben, denn wenn das Wasser versucht, nach unten zu fließen, entsteht am oberen Ende des Behälters ein Vakuum.

02:42 Aber das ist nicht unsere Situation. Wir haben einen oben offenen Behälter. Wir haben also atmosphärischen Druck, der in diese offene Mündung und in die Oberseite des offenen Tanks drückt. Da dieser atmosphärische Druckterm auf beiden Seiten gleich ist, können wir ihn loswerden. Die zweite Sache, die wir tun können, ist, diesen Ausdruck hier zu betrachten, ½ ρv1 zum Quadrat. Dies bezieht sich auf die Geschwindigkeit an der Oberseite Ihres Wassertanks.

03:04 Es sei denn, Sie haben einen sehr, sehr dünnen Tank, z. B. wenn Sie dieses Gehäuse mit einer Öffnung hier haben, die ist 0,5 Meter von der Basis entfernt. Das Wasser ist in diese Richtung geflossen. Wenn das Wasser dann hierher fließt, dann würde das Wasser sehr schnell nach unten fließen. Aber diesen Fall haben wir nicht.

03:19 Wir haben einen großen Tank mit Wasser. Wir betrachten also die Geschwindigkeit, mit der sich das Wasser nach unten bewegt als sehr langsam, insbesondere im Vergleich zur Geschwindigkeit des Wassers, das aus dem kleinen Ausguss am Boden austritt.

03:29 Jetzt haben wir das Ganze stark vereinfacht. Wir müssen nur noch den Geschwindigkeitsterm finden. Also ordnen wir zunächst einmal um, damit wir es ein wenig leichter zugänglich haben. Ziehen Sie diesen Term von beiden Seiten ab.

03:41 Wir haben also ρgh1 minus ρgh2. Dividieren wir die Dichte des Wassers von beiden Seiten, sodass nun wir nun v2 zum Quadrat haben. Multipliziere beide Seiten mit 2. Das ist 2 mal g, was wir ausrechnen können, mal die Höhendifferenz hier. Dies ist, wie Sie sehen, h1 minus h2, wobei h1 die große Höhe von 2 m ist und h2 ist die geringe Höhe von 0,5 Metern. Dies ist identisch zu 2 mal g mal 2 minus 0,5 oder 1,5.

04:15 Dies ist gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit am Boden des Tanks. Ich setze ein paar Zahlen ein und wir können sagen, dass dies ungefähr gleich 2 mal 10 mal 1,5 ist. Setzen wir dies in Klammern, damit wir nicht mit irgendwelchen Nachkommastellen verwirrt werden. Dies ist gleich 30. Ziehen Sie die Quadratwurzel, stellen wir fest, dass die Geschwindigkeit am Boden des Tanks gleich der Quadratwurzel von 30 Metern pro Sekunde ist. Wir wissen, dass diese Menge irgendwo zwischen 5 und 6 liegen muss, denn 5 zum Quadrat ist 25 und 6 zum Quadrat ist 36. Eines ist zu niedrig und eines zu hoch.

04:52 Wir werden also irgendwo dazwischen liegen, und wenn Sie das berechnen würden, bekämen Sie die Antwort: Die Geschwindigkeit des Wassers, das den Boden des Tanks verlässt, liegt bei etwa 5,5 Metern pro Sekunde.

05:04 Dies ist ein grundlegendes Beispiel für die Anwendung des Bernoulli-Prinzips, das im Wesentlichen besagt, dass die Energie oder die etwas abgewandelte Energiegleichung, die Drücke von einem Punkt zum anderen enthält, erhalten bleibt.